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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,容斥原理,主讲：刘文峰,容斥原理,1,专题简析,集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,9,便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有,10,个元素。,两个集合中可以做加法运算，把两个集合,A,、,B,合并在一起，就组成了一个新的集合,C,。计算集合,C,的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把,A,、,B,的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”,A,、,B,两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：,C=A,B,AB,。,在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。,专题简析集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本,2,五年级,96,名学生都订了报纸，有,64,人订了少年报，有,48,人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？,例1、,五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了,3,用左边的圆表示订少年报的,64,人，右边的圆表示订小学报的,48,人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：,64,48=112,人，,比总人数多,112,96=16,人,，,这,16,人就是两种报刊都订的人数。,分析与解答,用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人,4,实战演练,1,1,，一个班的,52,人都在做语文和数学作业。有,32,人做完了语文作业，有,35,人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？,2,，五年级有,122,人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有,65,人，数学得优的有,87,人。语文、数学都得优的有多少人？,3,，某班有,50,名学生，在一次测验中有,26,人满分，在第二次测验中有,21,人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有,17,人，那么，两次测验都得满分的有多少人？,随堂练习,实战演练11，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做,5,例2、,某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有,35,人懂英语，,34,人懂日语，两种语言都懂的有,21,人。这个学校共有多少名教师？,例2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂,6,把懂英语和懂日语的人数加起来得,35,34=69,人，,但是，两种语言都懂的,21,人被统计过两次，应该从,69,里去掉一个,21,才能得出这个地区外语教师的总人数：,69,21=48,人。,分析与解答,把懂英语和懂日语的人数加起来得分析与解答,7,实战演练,2,1,，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有,900,人爱好体育活动，有,850,人爱好文娱活动，其中,260,人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？,2,，某班在一次测验中有,26,人语文获优，有,30,人数学获优，其中语文、数学双优的有,12,人，另外还有,8,人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？,3,，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有,15,人，做对第二题的有,10,人，两题都做对的有,7,人，两题都做错的有,2,人。第一小组共有多少人？,实战演练21，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已,8,学校开展课外活动，共有,250,人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有,83,人，参加乒乓球组的有,86,人，这两个小组都参加的有,25,人。问这,250,名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？,例,3,、,学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组,9,分析与解答,两个小组都参加的有,25,人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是：,84,86,25=144,人，,所以，这两个小组都不参加的人数是：,250,144=106,人。,分析与解答两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组,10,实战演练,3,1,，五年级有,250,人，其中参加象棋组的有,83,人，参加乒乓球组的有,86,人，这两个小组都参加的有,25,人。两个小组都不参加的有多少人？,2,，五（,1,）班有,50,人，在一次测试中，语文,90,分以上的有,30,人，数学,90,分以上的,35,人，语文和数学都在,90,分以上的有,20,人。两科都在,90,分以下的有多少人？,3,，老师在统计考试成绩，数学得,90,分以上的有,25,人，语文得,90,分以上的有,21,人，两科中至少有一科在,90,分以上的有,38,人。两科都在,90,分以上的有多少人？,随堂练习,实战演练31，五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参,11,实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有,20,人获奖，在获奖者中有,16,人不是四年级的，有,12,人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？,例4,实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20,12,由“,16,人不是四年级的”可知：,16,人是五年级和其他年级的；由“,12,人不是五年级的”可知：,12,人是四年级和其它年级的。用,16,12,可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去,20,就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：,（,16,12,20,）,2=4,人，,该校参加书法比赛获奖的总人数是,:,4,20=24,人。,分析与解答,由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由,13,1,，五一小学举行小学生田径运动会，其中,24,名运动员不是六年级的，,28,名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有,32,名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？,2,，少年乐团学生中有,170,人不是五年级的，有,135,人不是六年级的，已知五、六年级的共有,205,人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？,3,，六一儿童狼子野心同学们做小花，有,24,朵不是红色的，有,20,朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有,18,朵，其他颜色的花一共做了多少朵？,实战演练,4,随堂练习,1，五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级,14,在,100,个外语教师中，懂英语的有,75,人，懂日语的有,45,人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？,例五、,在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其,15,分析与解答,显然，两种语言都懂的人在懂英语的,75,人中统计过一次，在懂日语的,45,人中又统计过一次。因此，,75,45=120,人，比,100,多出的,20,人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的,75,人中减去两种语言都懂的,20,人，就是只懂英语的人数了：,75,20=55,人。,分析与解答显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次,16,实战演练,5,1,，,40,人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有,30,人，做对第二题的有,21,人。只做对第一题的有多少人？,2,，五年级,122,名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文,65,人得优，数学,78,人得优，求只有语文一门得优的人数。,3,，全班,46,名同学，仅会打乒乓球的有,28,人，会打乒乓球又会打羽毛球的有,10,人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有,6,人。仅会打羽毛球的有多少人？,随堂练习,实战演练51，40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的,17,书山有路勤为径,下 课,祝你成功！,想一想 做一做,书山有路勤为径 下 课 祝你成功！想一想 做一做,18,
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