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本章优化总结,本章优化总结,知识体系网络,知识体系网络,高考热点探究,不等式的性质就其逻辑关系而言，可分为推出关系,(,充分条件,),和等价关系,(,充要条件,),两类，同向可加性和同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式，同向可乘时，应注意,a,b,0,，,c,d,0.,深刻理解不等式的性质时，把握其逻辑关系，才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题,不等式性质的应用,热点一,高考热点探究不等式的性质就其逻辑关系而言，可分为推出关系(充,高考热点探究,例,1,【,思路点拨,】,以上的结论，无论对错，都不是很复杂，对于一些简单的不等式证明，应该应用不等式性质等知识进行严密的逻辑推理,高考热点探究例1 【思路点拨】以上的结论，无论对,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,【,点评,】,准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提，在不等式的判断中，特殊值法也是非常有效的方法，尤其是对于填空题，特殊值法还可以节省时间,高考热点探究 【点评】准确记忆各性质成立的条件，,高考热点探究,1,利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值,(1),如果,x,0,，,y,0,，,xy,p,(,定值,),，当,x,y,时，,x,y,有最小值,2 (,简记为：积定，和有最小值,),(2),如果,x,0,，,y,0,，,x,y,S,(,定值,),，当,x,y,时，,xy,有最大值,S,2,(,简记为：和定，积有最大值,),利用基本不等式求最值,热点二,高考热点探究1利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,例,2,高考热点探究例2,高考热点探究,【,思路点拨,】,(1),注意条件中,1,的代换，也可用三角代换,(2),因为,4,x,5,0,，所以要先“调整”符号；,又,(4,x,2),不是常数，所以对,4,x,2,要添项“配凑”,(3),可利用,xy,与,x,y,的关系，转化为只含有,x,y,的不等式，或将,x,y,转化为只含一个变量的函数，再求其最值,高考热点探究【思路点拨】(1)注意条件中1的代换，也可用三,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,【,点评,】,利用基本不等式求最值问题，基本解法是借助条件化二元函数为一元函数，代换过程中应注意元的范围，同时也要注意“拆项”、“凑项”的技巧，以及等号能否取到等方面,高考热点探究【点评】利用基本不等式求最值问题，基本解法是借,高考热点探究,1,如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论,2,如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，则根据这两个根的大小进行分类讨论，这时两个根的大小关系是分类标准；如果一元二次不等式对应的方程的根不能通过因式分解的方法求出来，则根据方程的判别式,进行分类讨论,含有参数的一元二次不等式解的讨论,考点三,高考热点探究1如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数,高考热点探究,【,思路点拨,】,这个不等式的左端可以分解为两个因式的乘积，即,(,ax,1)(,x,2),，这样就可以根据字母,a,和,0,的三种关系进行分类解决,例,3,解关于,x,的不等式,ax,2,(2,a,1),x,20,和,a,0,时，依据对应方程的两个根,2,，的大小关系进行的,高考热点探究【点评】本例的难点是要进行所谓的“二级分类讨论,高考热点探究,当不等式中二次项的系数是一个字母参数时，就要根据二次项的系数与,0,的三种关系、二次三项式对应方程的根的大小关系综合地进行分类讨论，只要明确了分类的标准，难点也就化解了,高考热点探究当不等式中二次项的系数是一个字母参数时，就要根据,高考热点探究,1,在含参不等式中如果能够将参数分离出来，则分离参数后把另一端看做一个函数，通过求这个函数的最值或端点值，根据以下两种方法解决问题：,(1),在给定区间,L,上，含参数的不等式,f,(,x,),t,(,t,为参数,),恒成立的充要条件是,f,(,x,),min,t,(,x,L,),，,f,(,x,),t,(,t,为参数,),恒成立的充要条件是,f,(,x,),max,t,(,x,L,),；,(2),若在给定区间,L,上，函数,f,(,x,),无最值，则将,(2),中,f,(,x,),max,替换为函数值域的右端点，,f,(,x,),min,替换为函数值域的左端点,含参不等式恒成立问题,考点四,高考热点探究1在含参不等式中如果能够将参数分离出来，则分离,高考热点探究,2,如果不等式中的参数不能够分离，则把不等式函数化后，根据函数的定义域，结合函数图象求出这个函数在其定义域上的最值或值域，根据方法,(1)(2),进行解决,高考热点探究2如果不等式中的参数不能够分离，则把不等式函数,高考热点探究,例,4,三个同学对问题“关于,x,的不等式,x,2,25,|,x,3,5,x,2,|,ax,在,1,12,上恒成立，求实数,a,的取值范围”提出各自的解题思路,甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”,乙说：“把不等式变形为左边含变量,x,的函数，右边仅含常数，求函数的最值”,丙说：“把不等式两边看成关于,x,的函数，作出函数图象”,参考上述解题思路，并选择恰当的方法，你认为他们所讨论问题的正确结论，即,a,的取值范围是,_,高考热点探究例4 三个同学对问题“关于x的不等,高考热点探究,【,思路点拨,】,甲的思路不正确，所谓不等式“关于,x,的不等式,x,2,25,|,x,3,5,x,2,|,ax,在,1,12,上恒成立”，只要在区间,1,12,上任意的同一个,x,值处不等式成立即可，而甲的说法指的是在区间,1,12,上，对于任意的一个,x,0,值，不等式左端的函数值都不小于右端的函数在区间,1,12,上所有的函数值，显然甲的说法缩小了实数,a,的范围；乙的思路正确，具体操作起来也较为方便，问题的特殊性就在于这样处理后，含变量,x,的函数可以看做两个函数的和，这两个函数在同一点取得最小值；丙的思路也是正确的，但操作起来也很困难，在把不等式左端看做,x,的函数时函数的图象很难作出综合起来使用乙的思路进行解答较为合适,高考热点探究【思路点拨】甲的思路不正确，所谓不等式“关于x,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,【,点评,】,不等式恒成立问题在能够分离参数的情况下，恰当地分离参数是化解难点的重要手段之一本题在分离参数后，问题就转化为求函数,f,(,x,),x,|,x,2,5,x,|,在区间,1,12,上的最小值问题，这个函数的最小值也不好解决，可将其看做两个函数,g,(,x,),x,，,h,(,x,),|,x,2,5,x,|,之和，分别求这两个函数的最小值,高考热点探究【点评】不等式恒成立问题在能够分离参数的情况下,高考热点探究,一般情况下，这两个函数的最小值的和不是原来函数的最小值，但这个题目设计巧妙，即函数,g,(,x,),，,h,(,x,),都在,x,5,处取得最小值，这样就化解了这个难点如果一个函数可以看做几个函数之和，在整体求这个函数最值较为困难时，也可分别求解，如果这几个函数都在某点处同时取得最小值或最大值，则这些函数的最小值或最大值的和就是原来函数的最小值或最大值,高考热点探究一般情况下，这两个函数的最小值的和不是原来函数的,高考热点探究,【,思路点拨,】,因不等式的左边为二次三项式，故可以把,x,2,mx,4,看做,x,的二次函数，即设,f,(,x,),x,2,mx,4,，问题就等价于函数,f,(,x,),的图象在区间,(1,2),上的部分位于,x,轴上方，结合二次函数的图象及性质就可以列出,m,所满足的不等关系,例,5,当,x,(1,2),时，不等式,x,2,mx,40,恒成立，求,m,的取值范围,高考热点探究【思路点拨】因不等式的左边为二次三项式，故可以,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,高考热点探究,【,点评,】,本题也可以用分离参数的方法解答，这里我们采用函数的观点，目的是说明函数思想在解决这类问题中的作用函数思想的重要表现之一就是数形结合，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合是化解含参不等式恒成立问题的主要方法之一二次函数在指定区间上的性质是我们解决这个问题的理论根据,高考热点探究【点评】本题也可以用分离参数的方法解答，这里我,高考热点探究,1,不等式组所表示的平面区域问题：在这类试题中不等式组往往不是非常直观的二元一次不等式组，而是需要进行一定的变化转化为形式明朗的不等式组，化解这类问题的关键就是对不等式组的变换,2,含参的约束条件或目标函数：这个变动的参数是问题的难点所在，化解的基本思想是分类讨论、数形结合等,线性规划问题,考点五,高考热点探究1不等式组所表示的平面区域问题：在这类试题中不,高考热点探究,【,思路点拨,】,目标函数,z,ax,y,，即,y,ax,z,是斜率为,a,的直线系，其中,z,是这个直线系在,y,轴上的截距，最大值仅在点,(3,0),处取得，说明此时直线与不等式组所表示的平面区域没有其他公共点，可结合图形，根据直线斜率之间的关系解决,例,6,高考热点探究【思路点拨】目标函数zaxy，即yax,高考热点探究,【,解析,】,法一：画出可行域，如图的 阴影所示，其中,B,(3,0),，,C,(1,1),，,D,(0,1),若目 标函数,z,ax,y,仅在点,(3,0),处取得最大值，由图可知，直线,y,ax,z,的斜率,a,必然要小于直线,BC,的斜率 ，即,a,.,高考热点探究【解析】法一：,高考热点探究,法二：本题也可以根据线性规划问题中目标函数取最值的点必然是区域的顶点,(,或边界上的点,),进行解答在三个顶点处，目标函数值分别为,3,a,，,a,1,1,，要想目标函数仅在点,(3,0),处取得最大值，就必须有,3,a,a,1,且,3,a,1,，解得,a,.,高考热点探究法二：本题也可以根据线性规划问题中目标函数取最值,高考热点探究,【,点评,】,化解这类难点问题的基本思路有两个：一是根据图形，把目标函数看做直线系，根据目标函数中的,z,在直线系中的几何意义,(,直线系在,y,轴上的截距或是截距的相反数等,),，目标函数仅在可行域的一个顶点处取得最值，说明当直线系仅仅经过可行域中的这个点时满足所求，根据直线斜率之间的关系即可列出参数所满足的不等式，求出参数范围；,高考热点探究【点评】化解这类难点问题的基本思路有两个：一是,高考热点探究,二是根据线性规划问题中目标函数取最值的点只能是可行域的顶点或边界上的点，把区域的所有顶点处的目标函数的值都求出来，当目标函数仅在其中一个顶点处取得最大,(,小,),值时，目标函数在该点的值要同时大,(,小,),于目标函数在其他点的值,(,这种情况下目标函数不会同时在两个顶点处取得最值，当然也不会在边界上取得最值,),，通过解这个不等式组求出参数的取值范围,高考热点探究二是根据线性规划问题中目标函数取最值的点只能是可,
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