概率论与数理统计—-独立性

单击此处编辑母版标题样式,一、事件的相互独立性,二、几个重要定理,三、例题讲解,四、小结,第六节 独立性,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见,两事件,相互独立，,但两事件,不互斥,.,两事件相互独立与两事件互斥的关系,.,请同学们思考,二者之间没,有必然联系,由此可见,两事件,互斥,但,不独立,.,设事件,A,与,B,满足：,若事件,A,与,B,相互独立，则,AB,；,若,AB=,，,则,事件,A,与,B,不相互独立,证明：,第一章 概率论的基本概念,由于,AB=,，所以,但是，由题设,这表明，事件,A,与,B,不相互独立,第一章 概率论的基本概念,互不相容与相互独立不能同时成立。,三事件两两相互独立的概念,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,三事件相互独立的概念,伯恩斯坦反例,例,3,一个均匀的正四面体,，,其第一面染成红色,，,第二面染成白色,，,第三面染成黑色,，,而第四面同,时染上红、白、黑三种颜色,.,现以,A,，,B,，,C,分别,记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，,问,A,，,B,，,C,是否相互独立,?,解,由于在四面体中红、白、黑分别出现两面，,因此,又由题意知,故有,因此,A,，,B,，,C,不相互独立,.,则三事件,A,B,C,两两独立,.,由于,例,4,设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是,0.2,若,10,名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少,?,射击问题,解,事件,B,为“击落飞机”,第一章 概率论的基本概念,例,5,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人,击中的概率分别为,0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中,而被击落的概率为,0.2,被两人击中而被击落的概,率为,0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机,被击落的概率,.,解,A,B,C,分别表示甲、乙、丙击中飞机,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,解,例,6,3,）,2,）,1,）,n,例,7,如果构成系统的每个元件的可靠性均为,r,，,0r1.,且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：,第一章 概率论的基本概念,解：,1,）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为,2,）通路发生故障的概率为 ，两条通路同时发生故障的概率为 故系统的可靠性为,即附加通路可使系统可靠性增加。,3,）每对并联元件的可靠性为,系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为,由数学归纳法可证明当,第一章 概率论的基本概念,例,8,设有电路如图，其中,1,2,3,4,为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为,p,。求,L,至,R,为通路的概率。,L,R,2,1,3,4,解：,设事件,A,i,(,i,=1,2,3,4),为“第,i,个继电器接点闭合”,L,至,R,为通路这一事件可表示为：,第一章 概率论的基本概念,由和事件的概率公式及,A,1,A,2,A,3,A,4,的相互独立性，得到,第一章 概率论的基本概念,解,“,甲甲,”,“,乙,甲甲,”,“,甲,乙,甲,”,;,“,甲,乙,甲甲,”,“,乙,甲甲甲,”,“,甲甲,乙,甲,”,;,四、小结,