计算固体计算力学-第四章几何非线性问题

计算固体计算力学,*,博士研究生课程,计算固体力学,课程编号：,017090,王生楠，谢伟,西北工业大学 航空学院,第四章 几何非线性问题及其有限元求解,大变形条件下的应力和应变的度量,几何非线性问题的表达格式,大位移非线性弹性理论的变分原理,几何非线性问题的有限元分析,结构稳定性和屈曲问题,第一节 引言,小变形假设，包含两个方面内容：,一是假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度，在此前提下，建立结构或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此分析中不必区分变形前和变形后的位形，即如我们通常习惯上所用的以变形前位形描述变形后的平衡位形。,二是假定在加载和变形过程中的应变可用一阶微量的线性应变进行度量，即应变与位移成一阶线性关系。,第一节 引言,几何非线性问题：,板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的二次项,平衡方程和几何条件都是非线性的；,金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了,采用非线性的平衡方程和几何关系外，还需引入相应的应力应变关系,。,在几何非线性问题的有限元法中，通常采用,增量分析方法。,完全的,Lagrange,格式：,静力学和运动学变量总是参考初始变形，即整个分析过程中参考位形保持不变。,增量分析方法一般采用两种表达格式,更新的,Lagrange,格式：,静力学和运动学变量参考于每一载荷或时间步长开始时的位形，即在分析过程中参考位形不断在更新。,第二节 大变形条件下应力和应变的度量,一、应变的度量,0,时刻,P,点坐标：,Q,点坐标,：,t,时刻,P,点坐标：,Q,点坐标,：,将物体位形的变化看成从 到 的一种数学上的变化。对于某一固定时刻,t,这种变换可以表示为,根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单值连续的,基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量,。,*,拉各朗日（,Lagrange,）描述,*,欧拉（,Eular,）描述,基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。,根据以上变换,：,定义：,PQ,线段的长度：,P,Q,变形后的长：,变形前后，此线段的长度变化为：,-Green-Lagrange,应变张量,(Green,应变张量）,它用变形前坐标表示的。,-Almanasi,（阿尔曼西）应变张量,它用变形后坐标表示的。,位移场为,二者之间的关系,其中：,-,变形前的位形到变形后的位形的位移。,应变和位移的关系,当位移很小时，位移导数的二次项可以忽略，有,由,所以物体为刚体运动的必要条件和充分条件是,Green,应变张量和,Almansi,应变张量各分量为零。,二、应力的度量,在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元体定义应力张量,欧拉应力张量,，。,如果应变是用变形前的坐标表示的,Green,应变张量，则需要定义与之对应的关于变形前位形的应力张量。,变形后表面上的应力：,变形前表面上的应力：,需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：,Lagrange,规定,：变形前面积元上的内力分量和变形后面积元上的内力,分量相等。,Kirchhoff,（克西霍夫）规定,：变形前面积元上的内力分量和变形后面积元上的内力分量的变换与坐标变换 一致。,Lagrange,规,定,Kirchhoff,规,定,变形后位形的应力分量，则,面积微元上法,线方向余弦,：第一类,Piola-Kirchhoff,应力（,Lagrange,应力张量），,非对称,：第二类,Piola-Kirchhoff,应力。,Kirchhoff,应力张量，,对称,左上标,t,表示应力张量是属于变形后位形的，左下标,0,表示此量是在变形前位形内度量的。,应力张量,各种应力张量之间的关系：,（,1,）由质量守恒：,（,2,）,，,（,3,）,，,（,4,）,注意：,是非对称张量，,是对称张量。,Lagrange,应力张量,Kirchhoff,应力张量,在小变形情况下，和 蜕化为工程应力 ，,和 在构造本构关系是适当的。,第三节 大变形情况下的本构关系,等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以用三种等效的方法描述应力和应变之间的关系,应用于弹性以外的情况，得到三种不再等效，但具有不同普遍意义的本构关系。连续介质力学将它们分别称为,弹性、超弹性和拟弹性,。,大变形问题分为：,大位移、大转动和小应变问题,变形很大，但应变很小，甚至保持在弹性应变范围内。,大位移、大转动和大应变问题,应变很大，从材料角度考虑，分为弹性问题和塑性问题。,弹性,小应变,应力和应变关系是一一对应的。在小应变情况下，这种关系是线性的。在大应变条件下，这种关系是非线性的。,在小应变情况下,式中：,-,Kirhhoff,应力张量；工程应力,-,Kirhhoff,应力张量；工程应变,-,常数弹性本构张量,大应变,连续介质力学利用超弹性来表征这种材料特性。,应变能函数,建立的是,kirchhoff,应力张量和,Green,应变张量之间的关系。,建立的是,Euler,应力张量和,Almansi,应变张量之间的关系。,非弹性,小应变,式中：,-,时间,t,位形的，参考于时间,0,位形的切线本构张量。,大应变,式中：,-,真应力速率张量；,-,真应变速率张量。,第四节 大位移变形弹性理论的变分原理基础,第五节 几何非线性问题分析的有限元法,几何非线性问题通常采用增量的方法,一、虚位移原理（虚功原理）,时间0物体各点的坐标、位移：,时间,t,物体各点的坐标、位移：,时间,t+t,物体各点的坐标、位移：,与时间,t+t,位形内平衡条件相对应的虚位移原理,：,不能求解,其中：,-,现实位移分量的变分；,-,应变,的变分；,-,在现实位形内度量的面积载荷,-,在现实位形内度量的体积载荷,-,在现实位形的质量密度,所有变量应参考,-,已经求得的平衡位移,完全,Lagrange,格式,这种格式中所有变量以时间,0,的位形为参考位形。参考于初始位形的并与平衡方程等效的虚位移原理,更新的,Lagrange,格式,这种格式中所有变量以时间,t,的位形为参考位形。在求解过程中参考位形是不断改变的。,二、有限元方程的求解,静力问题：,按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。,坐标：,位移：,利用全,lagrange,格式分析某一单元，得到,其中：,-,线性应变的位移转换矩阵,；,-,非线性应变的位移转换矩阵,；,-,材料的本构矩阵,；,-Kirchhoff,应力矩阵,；,该方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中，刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。另一方面，右端项,与待求的位移增量,u,相关。这也造成了非线性。,求解方法：可采用求解物理非线性问题的方法求解。,三、求解方法,基本思想：在每个时间步中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。这些方法包括：直接迭代法；,N,R,方法等。,因此，几何非线性问题的求解包括两层迭代（循环）；,外层循环（迭代）：对时间步迭代（荷载增量步）,内层循环：求解各时间步倒出的非线性方程，通过迭代求解该时间步后的相应。,四、,Abaqus,处理几何非线性问题,将几何非线性效应包含于分析中，只需在输入文件里做一些修改，需要在,STEP,选项中加入,NLGEOM,参数，并去掉,PERTUBATION,参数。在该参数里加入,INC,参数指定分析中允许的最大增量步的数目，默认的增量步数目是,10,。如,*,STEP,，,NLGEOM,，,INC=25,指定增量步数目为,25,。,在,非线性分析中，一分析步发生在一段时间内，在静态模拟中总分析步时间通常设置为,1,，初始时间增量的大小介于,5%,和,10%,之间。载荷增量如下给定,载荷量值,四、,Abaqus,处理几何非线性问题,在,几何非线性分析中，局部材料方向在每个单元中随变形而转动。壳和梁单元局部的材料方向总是随变形而转动。对于实体单元，当单元参照于,ORIENT ATION,选项时，局部材料方向随变形而转动，否则在整个分析中局部材料方向不变。,在结点上，用,TRANSFORM,选项定义的局部方向，在整个分析中始终保持不变。,第六节 结构稳定性和屈曲问题,初始稳定性问题（初始屈曲等）,参考,线性与非线性有限元及其应用,郭乙木等著，重新整理。,稳定性控制方程（屈曲方程）,非线性方程：,稳定性问题：在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？,从数学上说，如果位移,u,对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？,也就是：,，是否有非零解？,注意：非线性刚度矩阵,初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题，,则初始内力与外荷载成正比。例如，梁的屈曲问题，则内力,与轴向荷载,p,成正比。此时，,是由初始内力形成的刚度矩阵。,失稳条件：,求解上述方程，可求出失稳荷载。,补 充,一、大变形问题的空间描述,前面介绍了求解大变形问题的物质描述方法（也称为,Lagrange,描述方法）。它是固体力学中经常采用的方法，这种方法是跟踪物质质点的运动，以质点的位移为基本的场变量。,研究有限变形，特别在粘性或塑性流动问题中，也可采用流体力学中常用的,空间描述方法,（也称为,Euler,描述方法,）。它描写的是运动的瞬时状态，作为基本变量的速度场和压力场是空间坐标的函数。,具体内容参考,非线性有限元基础,，殷有泉著,二、处理大变形问题的,ALE,方法,当材料严重变形时，用,Lagrange,描述方法,的单元会发生严重扭曲，因为他们随材料一起变形，从而恶化了这些单元的精度；甚至在积分点上,Jacobi,行列式可能变为负值，以致使计算中止或者引起严重的局部误差。因此，在许多发生严重大变形的模拟计算中，,重新剖分网格,是不可避免的，然而这是一个沉重的负担。,用,Euler,法,描述的有限元中，网格在空间是固定不变的，材料从单元网格中流过。这样，单元不会随材料运动而扭曲。但是，由于材料通过单元对流，,本构方程,的处理将是复杂的。而且应用,Euler,网格处理移动边界问题和流体与结构相互作用的问题也是十分困难的。,二、处理大变形问题的,ALE,方法,目前已经发展了一种兼顾,Euler,法和,Lagrange,方法优点的杂交技术，我们称它们为,任意的,Lagrange-Euler,方法（,ALE,）。,ALE,有限元法的目的是集合,Lagrange,和,Euler,有限元描述的优越性，而降它们的缺陷降低至最低，其代价是增加了计算量。,具体内容参考,非线性有限元基础,，殷有泉著,网格更新算法,网格更新算法,本章结束！,