第五节 极限运算法则（精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,时,有,一、无穷小运算法则,定理,1.,有限个无穷小的和还是无穷小,.,证,:,考虑两个无穷小的和,.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为,无穷小量,.,（合肥工大,P31,定理）,说明,:,无限个无穷小之和不一定是无穷小,!,例如，,(P56,题,4(2),解答见课件第二节 例,5,类似可证,:,有限个,无穷小之和仍为无穷小,.,定理,2.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,证,:,设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的,无穷小,.,推论,1.,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2.,有限个无穷小的乘积是无穷小,.,例,1.,求,解,:,利用定理,2,可知,说明,:,y,=0,是,的,渐近线,.,二、极限的四则运算法则,则有,证,:,因,则有,(,其中,为,无穷小,),于是,由,定理,1,可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立,.,定理,3.,若,推论,:,若,且,则,(,同济,P45,定理,5),（合肥工大,P28,推论,2,）,利用保号性定理证明,.,说明,:,定理,3,可推广到有限个函数相加、减的情形,.,提示,:,令,定理,4.,若,则有,提示,:,利用极限与无穷小关系定理及本节,定理,2,证明,.,说明,:,定理,4,可推广到有限个函数相乘的情形,.,推论,1.,(,C,为常数,),推论,2.,(,n,为正整数,),例,2.,设,n,次多项式,试证,证,:,为,无穷小,(详见P44),定理,5.,若,且,B,0,则有,证,:,因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理,得,为,无穷小,定理,6.,若,则有,提示,:,因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由,定理,3,4,5,直接得出结论,.,x,=3,时分母为,0!,例,3.,设有分式函数,其中,都是,多项式,试证,:,证,:,说明,:,若,不能直接用商的运算法则,.,例,4.,若,例,5.,求,解,:,x,=1,时,分母,=0,分子,0,但因,例,6.,求,解,:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“,抓大头,”,原式,一般有如下结果：,为非负常数,),(,如,P47,例,5),(,如,P47,例,6),(,如,P47,例,7),三、复合函数的极限运算法则,定理,7.,设,且,x,满足,时,又,则有,证,:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此,式成立,.,（,合肥工大,P28,定理,3,）,定理,7.,设,且,x,满足,时,又,则有,说明,:,若定理中,则类似可得,例,7.,求,解,:,令,已知,(,见,P46,例,3),原式,=,(,见,P33,例,5),例,8.,求,解,:,方法,1,则,令,原式,方法,2,内容小结,1.,极限运算法则,(1),无穷小运算法则,(2),极限四则运算法则,(3),复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.,求函数极限的方法,(1),分式函数极限求法,时,用代入法,(,分母不为,0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2),复合函数极限求法,设,中间变量,Th1,Th2,Th3,Th4,Th5,Th7,思考及练习,1.,是否存在,?,为什么,?,答,:,不存在,.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与,已知条件,矛盾,.,解,:,原式,2.,问,3.,求,解法,1,原,式,=,解法,2,令,则,原,式,=,4.,试确定常数,a,使,解,:,令,则,故,因此,备用题,设,解,:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,问,:,