随机数的生成方法实用全套PPT

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,随机数的生成(shn chn)方法,第一页，共28页。,在一定的统计(tngj)意义下可作为随机样本,X1，X2，Xn,的一组样本值，称r1,r2,rn一组具有与X相同分布的随机数.,例,1,设随机变量XB(1,0.5),模拟(mn)该随机变,量X的一组样本值.一种简单的方法是,抛一枚均匀硬币(yngb)，观察出现正反面的情况，,出现正面记为数值“1”,否则记为“0”得：,0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0，,0，1，1，0，1，0,可看成,总体,X,的一系列样本值,或称产生了,一系列,具有两点分布的随机数,.,第二页，共28页。,需要(xyo)寻求一种简便、经济、可靠,并能在计算机上实现的产生随机数的方法.,数学软件有产生(chnshng)常用分布随机数的功能,对特殊(tsh)分布,需要数据量很大时,不太有效,第三页，共28页。,二.均匀分布随机数的产生(chnshng),最常用、最基础的随,机数是在（0,1）区间(q jin),内均匀分布的随机数,(简记为RND),理解为：随机变量XU(0,1)的一组样本(yngbn)值的模拟值,一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到,.,通常是利用递推公式：,给定,k,个初始值,1,2,k,利用递推公式递推出一系列随机数,1,2,，,n,第四页，共28页。,乘同余法,混合(hnh)同余法,常用(chn yn)方法,具有(jyu)较好的,统计性质,1,乘同余法,递推公式为,用,M,除,x,n,后得到的余数记为,x,n+,1,其中,是乘因子,M,为模数,(,modulus),第一式是以,M,为模数,的,同余式,.,给定初值,x,0,(,称为,种子,),递推计算出,第五页，共28页。,r1，r2，,即在(0,1)上均匀分布的随机数序列(xli).,例,2,取,x,0,=1,，,=7,，,M=10,3,，,有,x,0,=71=7,，,x,1,=7,，,r,1,x,1,=77=49,，,x,2,=49,，,r,2,x,2,=749=343,，,x,3,=343,，,r,3,x,3,=7343=2401,x,4,=401,r,4,x,4,=7401=2807,x,5,=807,r,5,其余(qy)类推.,第六页，共28页。,2混合(hnh)同余法 递推公式为,用模 M 去除(q ch),xn+C的余数,其中(qzhng)，C是非负整数.,例,3,：,选,=97,，,C=3,，,M=1000,，,得递推公式,取定种子,x,0,=71,，,得,97,x,0,3=6890,，,x,1,=890,，,r,1,97,x,1,3=86333,，,x,2,=333,，,r,2,第七页，共28页。,97,x,2,3=32304,，,x,3,=304,，,r,3,97,x,3,3=29491,，,x,4,=491,，,r,4,97,x,4,3=47830,，,x,5,=630,，,r,5,余类推，接下来的随机数是：,，,，,0.853,有下述问题(wnt)：,1.数列(shli)rn是有周期的，周期LM（模数）；,因0 xnM，数列xn最多有 M个相异(xin y)值,从而rn也同样如此.,第八页，共28页。,2.数列rn本质上是实数列,给定(i dn)初始值由递推,公式计算出的一串确定的数列.,不能简单(jindn)等同于真正意义的随机数.,解决方法(fngf)与思路：,1.,选择模拟参数,2.,对数列进行统计检验,从计算机中直接调用,某种分布的随机数同样存在类似问题,.,第九页，共28页。,x,。,=1,，,=5,13,，,M,=2,36,（,L=2,34,210,10,）,1）周期(zhuq)的长度取决于参数x0,入,M的选择；,2）通过适当选取参数(cnsh)可以改善随机数的统计,性质.,几组供参考的参数值：,x,。,=1,，,=7,，,M,=10,10,（,L,=510,7,）,1.选择模拟(mn)参数,在计算机上编程产生随机数还应注意,浮点运算对周期的影响,x,。,=1,，,=5,17,，,M,=2,12,（,L,=2,40,10,12,）,第十页，共28页。,2.对数列(shli)进行统计检验,无论用哪一种(y zhn)方法产生的随机数序列(实数列)RND,都存在问题：,能否(nn fu)将其看着是在(0,1)上均匀分布的连续型随机变量X 的独立样本值？,对应的样本是否可以看成,X,的简单随机样本：,1,）,X,1,，,X,2,，,，,X,n,相互独立,；,2,）,X,i,U(0,1),(,i,=1,2,，,，,n,),需判断是否具有较好的统计性质：,独立性,均匀性,进行统计检验,第十一页，共28页。,三.任意分布(fnb)随机数的模拟,l离散(lsn)型随机数的模拟,设随机变量(su j bin lin)X 的分布律为,将,P,(n),作为区间,(0,1),的分点,:,P,(0),P,(1),P,(2),P,(3),0,1,第十二页，共28页。,若随机变量(su j bin lin)RU(0,1),有,产生(chnshng)X的随机数的算法步骤：,(1)产生一个(y)(0,1)区间上均匀分布随机数r(RND);,(2),若,P,(,n,1),r,P,(,n,),，,则令,X,取值为,x,n.,例,3,离散型随机变量,X,的分布律如下,X,=,x,P,(,x,),0 1 2,0.3 0.3 0.4,第十三页，共28页。,设,r,1,，,r,2,，,，,r,N,是,RND,随机数,，,令,x1，x2，xN 即具有(jyu)X 的分布律的随机数.,从理论(lln)上讲,已解决了产生具有任何离散型分布的随机数的问题.,具体执行仍有困难,如X的取值是无穷(wqing)多个的,情况.,可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法,.,第十四页，共28页。,例4 随机变量(su j bin lin)XB(n,p)，其分布律为,随机变量X是 n 次独立贝努里试验中,事件(shjin)A发生的总次数,其中p=P(A).,在计算机上模拟 n 重贝,努里试验(shyn)来产生二项分布,的随机数.,当,p,较大而计算精度要求较高时,第十五页，共28页。,2）统计(tngj)ri（i=1，2，n）中使得,重复循环(xnhun)得到:n1，n2，nk即所求随机数列.,0,1,p,练习题：,(1)生成(shn chn)100个服从B(20,0.3)的随机数,(2)如何模拟参数为的泊松分布随机数？,r,i,p,的个数,n,i,.,.,算法步骤：,1,）,产生,n,个,RND,r,1,，,r,2,，,，,r,n,；,第十六页，共28页。,2连续型随机数的模拟(mn),利用在(0,1)区间上均匀分布的随机数来模拟(mn)具有给定分布的连续型随机数.,两种方法(fngf),反函数法,舍选法,1),反函数法,设连续型随机变量,Y,的概率函数为,f,(,x,),需产生给定分布的随机数,.,算法,:1,）,产生,n,个,RND,随机数,r,1,，,r,2,，,，,r,n,；,所得,y,i,i,=1,2,n,即所求,.,第十七页，共28页。,基本原理：,设随机变量Y的分布(fnb)函数F(y)是连续函数，而且随机变量XU(0,1)，令Z=F1(X)。,则Z与Y有相同分布(fnb).,证明(zhngmng)FZ(z)=PF1(X)z=PXF(z),=G(F(z)=F(z),因G(x)是随机变量(su j bin lin)X 的分布函数：,第十八页，共28页。,若,Y,的概率密度为,f,(,y,),，,由,Y,=,F,1,(,X,),可得,对给出定的(0,1)上均匀分布随机数ri，,则具有给定(i dn)分布的随机数 yi 可由方程,解出,.,第十九页，共28页。,随机变量X1，X2相互独立XiU(0,1),令 Y1=a+(ba)X1U(a,b);,解决方法(fngf)与思路：,两种方法(fngf),例5 模拟(mn)服从参数为的指数分布的随机数，其概率密度函数为,可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法.,产生(chnshng)n 个RND 随机数：r1，r2，rn，,数列(shli)rn是有周期的，周期LM（模数）；,需判断是否具有较好的统计性质：,因G(x)是随机变量(su j bin lin)X 的分布函数：,不能简单(jindn)等同于真正意义的随机数.,选常数，使f(z)1，z(a，b)；,产生服从(fcng)N(,2)的算法步骤：,练习：生成100服从参数为10的指数分布的随机数。,无论用哪一种(y zhn)方法产生的随机数序列(实数列)RND,都存在问题：,公式计算出的一串确定的数列.,例5 模拟(mn)服从参数为的指数分布的随机数，其概率密度函数为,若随机变量(su j bin lin)XU(0,1),1,X,U,(0,1,),第二十页，共28页。,(1,r,i,),与,r,i,均为,RND,随机数,模拟(mn)公式可改写为,问题：请考虑如何(rh)利用此公式模拟泊松流？,优点：一种普通(ptng)而适用的方法；,缺点,:,当反函数不存在或难以求出时,不宜于使 用,.,练习：,生成,100,服从参数为,10,的指数分布的随机数。,第二十一页，共28页。,2,）舍选法,基本思想：实质(shzh)上是从许多RND随机数中选,出一部分,使之成为具有给定分布的随机数.,算法(sun f)步骤：,(1)选取(xunq)常数，使f(x)1，x(a,b)；,(2),产生两个,RND,随机数,r,1,、,r,2,，,令,y,=,a,(,b,a,),r,1,；,(3),若,r,2,f,(,y,),，则令,x=y,设随机变量,X,的概率密度函数为,f,(,x,),，,存在,实数,a,b,，,使,P,a,X,b,=1,，,否则剔除,r,1,和,r,2,重返步骤,(,2).,第二十二页，共28页。,重复循环,产生(chnshng)的随机数x1，x2，xN的,分布由概率函数 f(x)确定.,舍选法算法原理分析(fnx)：,设PaZb=1，Z的概率密度为f(z),选常数，使f(z)1，z(a，b)；,随机变量X1，X2相互独立XiU(0,1),令 Y1=a+(ba)X1U(a,b);,若X2f(Y1)，则令 X=Y1，否则剔除X1，X2重复到(2)。,则随机变量X的分布与Z相同。,第二十三页，共28页。,注,可选取有限(yuxin)区间(a1,b1)，使得,是很小的正数(zhngsh).,例如(lr)取 a1=3,b1=3，有,在区间,(,a,1,b,1,),上应用舍选法,不会出现较大,的系统误差,.,第二十四页，共28页。,3正态随机数的模拟(mn),产生(chnshng)正态分布,随机数的方法,反函数法,舍选法,坐标(zubio)变换法,中心极限定理,1,）,坐标变换法,设,r,1,，,r,2,是,RND,随机数,，,令,则,x,1,x,2,是相互独立的标准正态分布的随机数,.,练习：用舍选取法生成,100,个服从以期望,=20,，标准差,=10,的正态分布的随机数。,第二十五页，共28页。,2）利用(lyng)中心极限定理,产生服从(fcng)N(,2)的算法步骤：,产生(chnshng)n 个RND 随机数：r1，r2，rn