应用高等数学第9章9-1-课件

,*,上页,下页,返回,数学分析,CAI,电子教案,引 言,在函数项级数中，除幂级数外，还有一类非常重要,的函数项级数，它的各项皆为三角函数，我们称之为傅,里叶级数。它在电学、力学、声学等学科中都有着广泛,而又重要的应用；拉普拉斯变换的实质仍然是积分运,算，它在电学、力学、控制论等工程技术和科学研究中,有比傅里叶变换更加广泛的应用。,本章先从傅里叶级数的定义出发，导出拉普拉斯交,换的定义，接着简要介绍拉普拉斯变换以及它的逆变换,的基本性质与简单应用。,引 言 在函数项级数中，除幂级数外，还有一,1,第九章 傅里叶级数与拉普拉斯变换,9.1,傅里叶级数,9.2,拉普拉斯变换及其性质,9.3,拉普拉斯逆变换及性质,9.4,数学实验：求函数的拉普拉斯变换 与拉普拉斯逆变换,第九章 傅里叶级数与拉普拉斯变换 9.1 傅里叶级数,2,9.1,傅里叶级数,9.1.1,傅里叶级数,9.1.2,函数展开成傅里叶级数,9.1 傅里叶级数9.1.1 傅里叶级数,3,9.1.1,、傅里叶级数,1,、三角函数系的正交性,函数族：,1,，,称为三角函数系。,定理,1,.,（三角函数系的正交性）三角函数系中任意的两,个不同函数的积在上 的积分等于,0,，即有,9.1.1、傅里叶级数 1、三角函数系的正交性 函数族：1,4,（,n=1,2,.,）,（,n=1,2,.,）,（,m,n=1,2,.,）,（,m,n=1,2,.,且,m n),（,m,n=1,2,.,且,m n),（n=1,2.）,5,2,、傅里叶级数,称函数项级数 为傅里叶级数，,称为傅里叶级数的系数，简称为,傅里叶系数。,定理,2,（收敛定理）设函数 是以为周期 的,周期函数，若在一个周期 上满足条件：,2、傅里叶级数 称函数项级数,6,（,1,）为连续函数或者仅有有限个第一类间断点；,（,2,）仅有有限个极值点；,则 的傅里叶级数收敛，且有,（,1,）当 是 的连续点时,的傅里叶级数,收敛于,.,（,2,）当 是 的间断点时,的傅里叶级数,（1）为连续函数或者仅有有限个第一类间断点,7,收敛于这一点处的的左、右极限的算术平均值：,。,收敛于这一点处的的左、右极限的算术平均值：。,8,9.1.2,、函数展开成傅里叶级数,设 是以 为周期的周期函数，要将其展开成,傅里叶级数,就必须把 这些傅里叶系数求出来，,如何来求呢？,9.1.2、函数展开成傅里叶级数 设 是,9,设,对上式两边 从 到逐项积分：,设 对上式两边 从 到逐项积分：,10,根据三角函数的正交性，上式右边除第一项外，其余各,项均为零，所以,于是得,其次求 ，用 乘 两边，再从,-,到,逐项积分得,根据三角函数的正交性，上式右边除第一项外，其余各 项均,11,根据三角函数系的正交性，上式右边除,n=k,时,不等于零外，其余各项均为零，所以,于是得,根据三角函数系的正交性，上式右边除n=k时 不等于零外，其余,12,同理可得,例,1,设,f(x),是以,2,为周期的函数，它在 上的,表达式为 将 展开,成傅里叶级数,.,解,所给函数 在点处不连续，,同理可得 例1 设f(x)是以 2 为周期的函数，,13,在其它点都连续，满足收敛定理的条件。它可以展开成,傅里叶级数，其傅里叶系数为,:,在其它点都连续，满足收敛定理的条件。它可以展开成 傅里叶级数,14,所以当 时,所以当,15,当 时，上式右边收敛于,函数图形如,91,所示,图,9-1,当,16,应当注意，如果函数 只在 上有意义，并,且满足收敛定理的条件，那么我们可以在 外,补充函数 的定义，使它拓广成以 为周期的周,期的周期函数 ，按这种方式拓广函数的过程称,为周期延拓，这样 就是以 为周期的周期函数，,应当注意，如果函数 只在,17,而且满足收敛定理的条件，我们可以将 展开成傅,里叶级数，然后限定 在 内 ，此时有,，这样就得到了 的傅里叶级数展开,式，根据收敛定理，该傅里叶级数在区间端点,处收敛于,而且满足收敛定理的条件，我们可以将 展开成,18,例,2,将函数 展开成傅里叶级数。,解,所给函数在区间 上满足收敛定理条件，把,它拓广成以 为周期函数。因为函数 在,上连续，所以拓广后的周期函数的傅里叶级数在,上收敛于 。计算傅里叶系数如下：,例2 将函数,19,应用高等数学第9章9-1-课件,20,所以,所以,21,图,92,在收敛定理中，是以 为周期的函数，或者定,义在 上然后作以 为周期的延拓的函数，下,面讨论以 为周期的函数的傅里叶级数展开式。,图92在收敛定理中，是以,22,定理,3,设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条,件，则它的傅里叶级数展开式为：,其中,定理3 设周期为 的周期函数 满足,23,当 为奇函数时，,其中,当 为偶函数时，,其中,当 为奇函数时，其中 当 为,24,例,3,设 是周期为,4,的周期函数，它在 上的,表达式为,:,将 展开成傅里叶级数。,解,这时 ，按公式（,2,）有,例3 设 是周期为4的周期函数，它在,25,将求得的 系数代入（,1,）式，得,将求得的 系数代入（1）式，得,26,当 时，,上式右端收敛于,的傅里叶级数的和函数的图形如图,9-3,所示。,当,27,图,9-3,应当注意的是，在实际应用中，有时需要把定义在,上的函数展开成余弦级数或者正弦,级数,为此，先把定义在 上的函数作,图9-3应当注意的是，在实际应用中，有时需要把定义在 上的函,28,偶式延拓或作奇式延拓到 上，然后求延拓后函数,的傅里叶级数。但是，对于定义在 上的,函数，将它展开成余弦级数或正弦级数时，可以不作延,拓而直接由（,3,）或（,6,）式计算傅里叶系数。,例,4,把 在 内展开成：,偶式延拓或作奇式延拓到 上，然后求延拓后,29,(1),正弦级数,;(2),余弦级数,.,解,（,1,）为了要把 展开为正弦级数，对 作奇式周期延,拓（图,9-4,）并由公式（,3,）有,图,9-4,(1)正弦级数;,30,所以当 时，由（,6,）及收敛定理得到,但当 时，右边级数收敛于,0,。,所以当 时，由（6）及收敛定,31,图,9-5,（,2,）为了要把 展开为余弦级数，对 作偶式周期延,拓（图,9-5,）。由公式（,6,）得 的傅里叶系数为：,图9-5（2）为了要把 展开为余弦级数，对,32,或,所以当 时，由（,6,）及收敛定理得到：,或 所以当 时，由（6）及,33,应用高等数学第9章9-1-课件,34,