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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,小专题,6,辅助圆问题,类型一定点定长作圆,方法解读,平面内，点,A,为定点，点,B,为动点，且,AB,长度固定，则点,B,的轨迹在以点,A,为圆心，,AB,长为半径的圆上,(,如图,1),依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合,推广：,如图,2,，点,E,为定点，点,F,为线段,BD,上的动点,(,不含点,B),，将,BEF,沿,EF,折叠得到,BEF,，则点,B,的运动轨迹为以点,E,为圆心，以线段,BE,为半径的一段圆弧,思维方法,根据线段,BA,与线段,BQ,关于线段,BP,所在的直线对称可知，点,Q,在以点,B,为圆心，,AB,长为半径的圆上运动，即点,Q,的运动轨迹是一段圆弧，然后画出草图，再矩形的性质求出,ABQ,120,，再由矩形的性质和轴对称性可知，,BOQDOC,，最后根据,S,阴影部分,S,四边形,ABQD,S,扇形,ABQ,S,四边形,ABOD,SBOQ,S,扇形,ABQ,可求出答案,S,阴影部分,S,四边形,ABQD,S,扇形,ABQ,S,四边形,ABOD,SBOQ,S,扇形,ABQ,S,四边形,ABOD,SDOC,S,扇形,ABQ,S,矩形,ABCD,S,扇形,ABQ,对应训练,1,如图，在,RtABC,中，,C,90,，,AC,6,，,BC,8,，点,F,在边,AC,上，并且,CF,2,，点,E,为边,BC,上的动点，将,CEF,沿直线,EF,翻折，点,C,落在点,P,处，则点,P,到边,AB,距离的最小值是,()A,1.5B,1.2C,2.4D,以上都不对,B,3,(2020,广东,),有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，,ABC,90,，点,M,，,N,分别在射线,BA,，,BC,上，,MN,长度始终保持不变，,MN,4,，,E,为,MN,的中点，点,D,到,BA,，,BC,的距离分别为,4,和,2.,在此滑动过程中，猫与老鼠的距离,DE,的最小值为,_.,4,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,3,，,BC,2,，,M,是,AD,边的中点，,N,是,AB,边上的动点，将,AMN,沿,MN,所在直线折叠，得到,AMN,，连接,AC,，则,AC,的最小值是,_.,类型二定弦对定角,固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分,如图,1,，在,O,中，若弦,AB,长度固定，则弦,AB,所对的圆周角都相等；,(,注意：弦,AB,的劣弧上也有圆周角，需要根据题目灵活运用,),如图,2,，若有一固定线段,AB,及线段,AB,所对的,C,大小固定，根据圆的知识可知点,C,不唯一当,C90,时，点,C,在劣弧上运动,【,经典母题,】,如图，,ABC,为等边三角形，,AB,2.,若,P,为,ABC,内一动点，且满足,PAB,ACP,，则线段,PB,长度的最小值为,_.,解析,ABC,是等边三角形，,ABC,BAC,60,，,AC,AB,2.PAB,ACP,，,PAC,ACP,60,，,APC,120,，点,P,的运动轨迹是,当,O,，,P,，,B,共线时，,PB,长度最小，设,OB,交,AC,于,D,，如图所示,对应训练,5,如图，,RtABC,中，,ABBC,，,AB,6,，,BC,4,，,P,是,ABC,内部的一个动点，且满足,PAB,PBC,，则线段,PC,长的最小值为,(),B,6,如图，,ABC,，,AC,3,，,BC,，,ACB,60,，过点,A,作,BC,的平行线,l,，,P,为直线,l,上一动点，,O,为,APC,的外接圆，直线,BP,交,O,于,E,点，则,AE,的最小值为,(),D,7,如图，已知正方形,ABCD,的边长为,4.,点,M,和,N,分别从,B,，,C,同时出发，以相同的速度沿,BC,，,CD,方向向终点,C,和,D,运动连接,AM,和,BN,，交于点,P,，则,PC,长的最小值为,_,_.,8,如图，已知等边,ABC,的边长为,6,，在,AC,，,BC,边上各取一点,E,，,F,，使,AE,CF,，连接,AF,、,BE,相交于点,P,，当点,E,从点,A,运动到点,C,时，点,P,经过点的路径长为,_,9,如图，点,A,与点,B,的坐标分别是,(1,，,0),，,(5,，,0),，点,P,是该直角坐标系内的一个动点,.,若点,P,在,y,轴上，且,APB,30,，则满足条件的点,P,的坐标为,_,类型三四点共圆,1,如图,1,、,2,，,RtABC,和,RtABD,共斜边，取,AB,的中点,O,，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：,OC,OD,OA,OB,，,A,、,B,、,C,、,D,四点共圆即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一,2,圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形,ABCD,中的动点问题，若满足其中一组对角角度之和等于,180,，可考虑作它的外接圆解题如图,3,，在四边形,ABCD,中，满足,ABC,ADC,180,，可知四边形,ABCD,有外接圆,O,，其圆心,O,为任意一组邻边的垂直平分线的交点,(,点,O,为,AB,和,BC,垂直平分线的交点,),【,经典母题,】,如图，在,ABC,中，,A,60,，,BD,、,CE,分别是,AC,与,AB,边上的高，求证：,BC,2DE.,思维方法,证明,B,、,C,、,D,、,E,四点共圆，进而证明,AEDACB,，得到；证明,AB,2AD,，问题即可解决,对应训练,10,如图，,ABC,中，,ABC,90,，,AB,6,，,BC,8,，,O,为,AC,的中点，过,O,作,OEOF,，,OE,、,OF,分别交射线,AB,、,BC,于,E,、,F,，则,EF,的最小值为,_.,5,11,如图，若,D,为等腰,RtABC,的边,BC,上一点，且,DEAD,，,BEAB,，,AD,2,，则,AE,的长为,_.,12,如图，正方形,ABCD,的边长为,4,，等边,EFG,内接于此正方形，且,E,，,F,，,G,分别在边,AB,，,AD,，,BC,上，若,AE,3,，求,EF,的长,解：作,EKFG,于,K,，则,K,是,FG,的中点，连接,AK,，,BK.EKG,EBG,EKF,EAF,90,，,E,、,K,、,G,、,B,和,E,、,K,、,F,、,A,分别四点共圆，,KBE,EGK,60,，,EAK,EFK,60,，,ABK,是等边三角形，,AB,AK,KB,4,，作,KMAB,，则,M,为,AB,的中点，,类型四阿氏圆已知两个定点,A,、,B,，则所有满足,k(k1),的点,P,的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆中考常使用逆向思维构造,A,型相似，并利用两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题如图，当点,P,在圆上运动时，,PA,、,PB,的长度在不断的变化，使得，则此时,APDABP,，即“阿氏圆”模型为构造共角共边相似：半径的平方原有线段,构造线段,【,经典母题,】,如图，在,ABC,中，,ACB,90,，,BC,12,，,AC,9,，以,C,为圆心，,6,为半径的圆上有一动点,D,，连接,AD,、,BD,、,CD,，则,AD,BD,的最小值为,_.,思维方法,首先在,AC,上截取线段,CM,4,，构造共角共边相似，然后利用相似三角形的性质证明,DM,AD,，推出,AD,BD,DM,BDBM,，利用勾股定理求,BM,即可解决问题,解析,在,CA,上截取,CM,，使得,CM,4,，连接,DM,，,BM.,CD,6,，,CM,4,，,CA,9,，,CD,2,CMCA,，,又,DCM,ACD,，,DCMACD,，,DM,AD,，,AD,BD,DM,BD,，,B,、,D,、,M,三点共线时，,DM,BD,有最小值,BM,，即,DM,BDBM.,在,RtCBM,中，,CM,4,，,BC,12,，,BM,AD,BD,的最小值为,.,B,变式训练,13,如图，正方形,ABCD,的边长,AB,8,，,E,为平面内一动点，且,AE,4,，,F,为,CD,上一点，,CF,2,，连接,EF,，,ED,，则,2EF,ED,的最小值为,(),14,如图，在,RtABC,中，,ACB,90,，,CB,7,，,AC,9,，以,C,为圆心、,3,为半径作,C,，,P,为,C,上一动点，连接,AP,、,BP,，则,AP,BP,的最小值为,_.,15,如图，在,O,中，点,A,、点,B,在,O,上，,AOB,90,，,OA,6,，点,C,在,OA,上，且,OC,2AC,，点,D,是,OB,的中点，点,M,是劣弧,AB,上的动点，则,CM,2DM,的最小值为,_.,16,如图，已知正方形,ABCD,的边长为,4,，,B,的半径为,2,，点,P,是,B,上的一个动点，求,PD,PC,的最小值和,PD,PC,的最大值,解：如图,1,，在,BC,上取一点,G,，使得,BG,1,，连接,PG,，,DG.,PBG,PBC,，,PBGCBP,，,DP,PGDG,，,当,D,、,G,、,P,共线时，,PD,PC,的值最小，,此时利用勾股定理求得最小值为,DG,5.,PD,PC,PD,PGDG,，,当点,P,在,DG,的延长线上,(,如图,2),时，,PD,PC,的值最大，,最大值为,DG,5.,
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