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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,经济数学基础,线性代数,经济数学基础线性代数,第三章 线性方程组,线性方程组的,解的判定,和,求法,本章难点：,解的判定,定理,本章重点：,第三章 线性方程组线性方程组的解的判定和求法本章难点：,一、线性方程组的有关概念,1,、,n,元,线性方程组为：,一、线性方程组的有关概念1、n元线性方程组为：,4,元线性方程组,4元线性方程组,2,、方程组的,系数矩阵,A,为：,“,增广矩阵”,对 做初等,行变换，同,时也是对,A,做变换。,2、方程组的系数矩阵A为：“增广矩阵”对 做初等,3,、方程组的,矩阵形式,：,系数矩阵,A,未知量矩阵,X,常数矩阵,B,3、方程组的矩阵形式：系数矩阵A未知量矩阵X常数矩阵B,【例,1,】,写出下列线性方程组的,系数矩阵,、,增广矩阵,和,矩阵形式,解：,系数矩阵,是,【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和矩阵形式解：,增广矩阵,方程组的,矩阵形式,是,AX,B,，即,由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之,由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。,增广矩阵方程组的矩阵形式是AXB，即由线性方程组可惟一确,【例,2,】,已知方程组的增广矩阵如下，试写出,它的线性方程组,【解】：,“,常数项”,一一对应,“,增广矩阵”,“,线性方程组”,【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出【解】：“常数项”一,【例,3,】已知方程组的增广矩阵如下，试写出,它的线性方程组,解：,“,常数项”,【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出解：“常数项”,4,、齐次线性方程组：,AX=,0,如果常数项,不全为,0,，则,称为：,非齐次线性方程组,。,4、齐次线性方程组：AX=0如果常数项不全为0，则称为：非齐,5,、方程组的,解,：,方程组的,解,是,满足方程组,的未知量的,一组取值：,例如：,显然，,就是它的一,组解。,5、方程组的解：方程组的解是满足方程组的未知量的例如：显然，,显然：是,齐次线性方程组,注意：方程组的解可能有,惟一解,，也可能,有,无穷多组,，也可能是,无解,。,的一组解。称为,0,解,，或,平凡解,。否则称为,非零解,。,显然：是齐次线性,定理,3.1,3.2,实际上告诉我们要通过,求“增广矩阵”的秩,来判断解的情况。总结：,（,1,）若 则方程组,无解,。,（,2.1,）若,r,=,n,就有,唯一解,；,（,2.2,）若,r,n,就有,无穷多解,。,（,2,）若 则方程组,有解,。,设,r,=,秩,(,A,),，,n,为未知量的个数,.,二、线性方程组解的判定定理,定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过（1）若,【例,3,】,当,a,b,为何值时,下列方程组有惟一解,、无穷多解或无解。,【解】,只需要对,增广矩阵,进行初等行变换,将其化为阶梯形矩阵,【例3】当a,b为何值时,下列方程组有惟一解【解】只需要对增,+,(-1),+,(-1),+,(-2),根据,方程组解的判定定理,可知：,（,1,）当,a,=,3,且,b,3,时,所以方程组,无解,。,+(-1)+(-1)+(-2)根据方程组解的判定,（,2,）当,a,=-3,且,b,=3,时,所以方程组有无穷多解,.,（,3,）当,a,-3,时,所以方程组有惟一解,.,注意,3,个量：,（2）当a=-3,且b=3时所以方程组有无穷多解.（3）当a,1,、线性方程组,AX,=,b,的解的情况归纳如下：,(1.1),AX,=,b,有,唯一解,(1.2),AX,=,b,有,无穷多解,(1.3),AX,=,b,无解,2,、齐次线性方程组,AX,=0,的解的情况为：,(2.1),AX,=,0,只有,零解,(,唯一解,),(2.1),AX,=,0,有,非零解,(,无穷多解,),注：对于齐次线性方程组没有“,无解,”的情况。,1、线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：(1.1)A,【例】,线性方程组,AX,=,B,有唯一解，那么,AX,=0(),A,可能有解,B,有无穷多解,C,无解,D,有唯一解,【解】,线性方程组,AX,=,B,有唯一解，说明,故,AX,=0,只有唯一解（零解）,【例】线性方程组AX=B有唯一解，那么AX=,三、线性方程组的求解,定义,：“行简化阶梯形矩阵”,若阶梯形矩阵还满足下两个条件：,(1),各个,非,0,行,的第一个不为,0,的元素,(,首非,0,元,),都是,1,；,(2),所有,首非,0,元所在列,的其余元素,都是,0,.,如：,三、线性方程组的求解定义：“行简化阶梯形矩阵”若阶梯形矩阵还,求解的方法：用初等行变换。,第一步,，写出增广矩阵 ，并用初等,行变换变为,阶梯矩阵,；,第二步,，再用初等行变换将所得矩阵变为,行简化阶梯形矩阵,；,第三步,，写出所得矩阵对应的方程组，再,整理出方程组的,一般解,。,实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。,求解的方法：用初等行变换。第一步，写出增广矩阵,【例,4,】,解线性方程组：,【解】,对增广矩阵进行初等行变换，将其化,成行简化阶梯形矩阵，即,+,(-2),+,(-4),【例4】解线性方程组：【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化,+,(-2),+,(-1),(,),+3,+(-2)+(-1)(,)+3,(-1),+,+,(-1)+,所以方程组化简为：,即方程组,的解为：,所以方程组化简为：即方程组,【例,5,】,解线性方程组：,【解】,对增广矩阵进行初等行变换，将其化,成行简化阶梯形矩阵，即,(,),【例5】解线性方程组：【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化,+,(-2),+,+,(-4),+(-2)+(-4),+,(-1),+,(-1),+,(-3),所以方程组化简为：,含有自由未知量的解称为方程组的,一般解,。,（,P,132,）,+(-1)+(-1)+(-3)所以方程组化简为：,【例,6,】,设线性方程组,AX,=,b,的,增广矩阵,通过,初等行变换化为：,【分析】,先确定,基本未知量,为：,则此线性方程组的一般解中,自由未知量,的,个数为,_,。,则其余的为,自由未知量,：,【例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵通过【分析】先确定基本,【练习】,求方程组的解。,已知线性方程组,AX=B,的增广矩阵经初等,行变换化为阶梯形矩阵：,【练习】求方程组的解。已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初,解：,对系数矩阵进行初等行变换，将其进,一步化成行,简化阶梯形矩阵,，即,+,+,(-1),+,(-1),解：对系数矩阵进行初等行变换，将其进+(-1)+,其中，,是自由未知量,其中，是自由未知量,写成方程组的形式为：,所以，方程组的解为：,其中，,是自由未知量,写成方程组的形式为：所以，方程组的解为：其中，是自由未知量,解齐次线性方程组,一般方法是：,(1),写出齐次线性方程组的系数矩阵,A,；,(2),对,A,施行初等行变换，使,A,化为行简化阶梯形矩阵；,(3),根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。,解齐次线性方程组一般方法是：,【例,7,】,求线性方程组：,解：,的一般解。,对系数矩阵进行初等行变换，将其化,成行简化阶梯形矩阵，即,+,(-2),+,(-2),【例7】求线性方程组：解：的一般解。对系数矩阵进行初等行变换,+,(-1),(-1),+(-1),+2,+(-1),+(-1)(-1)+(-1)+2+(,所以方程组化简为：,所以方程组化简为：,【例,8,】,设齐次线性方程组为：,【解】,对,系数矩阵,进行初等行变换，即,+,(-2),+,(-3),问：,取何值时方程组,有非零解,，并,求一,般解,。,【例8】设齐次线性方程组为：【解】对系数矩阵进行初等行变换，,+,(-1),对于齐次线性方程组，要使其有,非零解,，,则要求：,此时方程组,有非零解。,这时系数矩阵变为：,+,3,+(-1)对于齐次线性方程组，要使其有非零解，此时方程组,所以方程组化简为：,得方程组的一般解：,所以方程组化简为：得方程组的一般解：,结束,结束,
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