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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.误差分析基础,科学实验和生产过程中对物理量或参数进行检测时，为了准确要分两步：一、选用合适的仪器与测量方法获取实验数据；二、对数据进行误差分析与数据处理。两者均重要，缺一不可。实际中常忽视后者，导致无法确定获得的数据的可靠性，会得到错误的结论或掩盖了物理现象的本质。,误差不可避免地存在，因为真值永远难以得到。从实验数据中如何找到被测量真值的最佳估值，它的可靠程度如何，衡量可靠程度的指标是什么，如何进行误差分析，找出其产生的原因，采取措施减少误差使测量结果更加准确等，是进行误差理论学习的原因。,2.误差分析基础 科学实验和生产过程中对物理量或,1,根据检测的目的选择测量精度,误差原因分析及误差的表示方法,间接检测时误差的传递法则,平均值误差的估计以及粗大误差的检验,用测量数据推导试验公式,我们将要学习的误差分析理论有：,我们将要学习的误差分析理论有：,2,2.1.检测精度,仪表的,精度,是这样规定的：用该仪表进行测量,时，能够精确到的最后一位数字是哪一量级，,则该仪表的精度就是哪一量级。,如：用千分尺测一物的长度为19.53,mm，,则该千分尺的精度为0.01,mm。,精度是相对而言的，被测量大小不同，则精度不同。,如测量地球直径精度不能达到米，而测量钢丝的直径,精度不能超过厘米。,测量精度越高，误差越小；精度越低，误差越大。,精度高的仪器起使用条件苛刻，维护费用大，实际,使用时应适当选择测量精度。,2.1.检测精度仪表的精度是这样规定的：用该仪表进行测量,3,2.2.误差分析的基本概念,真值、测量值与误差的关系,几种误差的定义残差、方差、标准误差,测量的准确度与精密度,2.2.误差分析的基本概念真值、测量值与误差的关系,4,一、真值、测量值与误差的关系,误差,x，,即测量值,M,偏离真值,A,0,的程度，即,X=M-A,0,如果对同一个被测量测量了,n,次，得到,n,个测得值,M,i,（i=1,2,n）。,每个测得值的误差为,X,i,=M,i,-A,0,这组测量的平均值为,一、真值、测量值与误差的关系误差x，即测量值M偏离真值A,5,在有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差为：,=A-A,0,当测量次数,n,足够多时，平均值,A,可以认为最接近被测量的真值，即,在有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差为：=A-,6,二、,几种误差的定义,残差,（,残余误差,）：各测量值与平均值的差,v,i,=M,i,-A,由平均值,A,的定义式可知：,v,i,=0,方差：,标准误差：,标准误差是方差的均方根值，它是表示测量值偏离真值的重要参数。,二、几种误差的定义残差（残余误差）：各测量值与平均值的差方,7,三、,测量的准确度与精密度,精密度,：用同样的方法与设备对同一未知量,进行多次检测时，测量值之间差异的大小。,差异小的测量称为精密测量，即,精密度高,，,反之，,精密度低,。,准确度,：在同样条件下，进行无数次测量时平均,值与真值的偏差大小。偏差小的测量为准确测量，,即,准确度高,。,三、测量的准确度与精密度精密度：用同样的方法与设备对同一未,8,再举一例，如1和2是两条测量数据分布曲线。,A,为被测量的真值，,A,a,为一种测量方法测得的平均值，,A,b,为另一种测量方法测得的平均值，其中1表示准确却不精密（误差小，标准误差大），2表示精密却不准确（误差大，标准误差小）。,只有准确度和,精密度都高，才能,称为精确的测量。,再举一例，如1和2是两条测量数据分布曲线。A为被测量的真值,9,2.3.误差的来源,产生误差的原因很复杂，可以是某个原因，也可能是几个因素综合引起的。可归纳为如下四种：,测量装置误差,（质量问题、元器件老化等）,环境误差,（温度、湿度等变化和辐射等）,方法误差,（测量方法不正确，安装布置不当等）,人员误差,（读表偏差、知识和经验的不同等因素而造成的误差）,测量对象变化的误差,（被测对象的不稳定或者测量器件进入被测对象也能造成测量误差）,2.3.误差的来源 产生误差的原因很复杂，可以是,10,2.4.误差的分类,按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差。,一、,系统误差,：,1.,定义,：相同条件下多次测量同一量时，误差的,大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化。,2.,产生的原因：,它是由测量工具或仪器本身或对,仪器使用不当而造成的。如零点没调整好，工,作电池随工作时间的增加电压逐渐下降，环境,的变化等引起的误差。,3.,消除：,查明原因可以消除；对测量值进行修正；,改善测量条件；改进测量方法等。,2.4.误差的分类按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差,11,二、,随机误差,1.,定义,：相同条件下多次重复测量同一量时，误,差的大小和符号是无规律变化的误差。,2.,产生的原因：,是由测量过程中互相独立的、,微小的偶然因素引起的。有些可知但却无法控,制，如空气的干燥程度及气流的大小和方向都,对测量有影响；有些是不知的。,3.,消除：,不能消除，也不能修正，值是随机的。,4.,特点,：多次重复测量时，总体服从统计规律，,故可以了解它的分布特性，并能对其大小和测,量结果的可靠性作出估计，是误差理论的依据。,二、随机误差,12,三、,粗大,误差,1.,定义,：相同条件下多次重复测量同一量时，,明显偏离了结果的误差。,2.,产生的原因,：疏忽大意或不正确的观测、测,量条件的突然变化、仪器故障等。,3.,消除：,遵循一定的规则。,4.,特点,：通常数值比较大。测量中应该避免这,类误差的出现。含有粗大误差的测量值称为坏,值。判断某一测量值是否为坏值，可以用统计,方法或遵循一些准则。,三、粗大误差,13,三种误差可以互相转化。,如尺子的分划误差，在制造尺子时为随机误差，因为可长可短，无规律，但用它测量时，该误差使测量结果始终大些或小些，变成为系统误差。,还可根据误差产生的原因将其分成设备误差、人员误差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差等。但名称如何总可归为上述三类。而正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消除，因此误差分析只是随机误差的分析。,三种误差可以互相转化。如尺子的分划误差，在制,14,2.5.随机误差的统计处理,分析随机误差的性质,对称性、单峰性、,有界性、抵偿性；,介绍随机误差函数及其表达法概率密度,函数,从测量平均和测量方差如何求得真值和方,差的最佳估计值的方法,2.5.随机误差的统计处理 分析随机误差的性质对称性、单峰,15,一、随机误差的概率及概率密度函数的性质,随机误差的统计处理：,在了解误差性质之上，分析,误差概率密度函数及其曲线特征，求取误差发,生的概率。,1.误差函数有关的定义：,概率密度函数：,误差 发生的概率密度,概率元：,误差 发生的概率,误差在 与 之间的概率,：,一、随机误差的概率及概率密度函数的性质 随机误差的统计处理：,16,2.,随机误差的,统计特性,：,通过对大量的测量数据的观察，人们总结出了大多数随机误差具有以下4个特征，它常被称为,随机误差公理,。,对称性,：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。,故,f(x),为偶函数，其分布曲线对称纵轴。,单峰性,：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多。,绝对值小的误差概率密度大，即,有界性:,在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过,一定界限，即绝对值很大的误差基本不发生,。,抵偿性：,随测量次数增加，随机误差的代数和为零，即正,负误差相互抵消。它可以由对称性推出。,理论和实践证明：满足上述统计特征的随机误差在测量次数极大时必然服从,正态分布,。,2.随机误差的统计特性：有界性:在一定的测量条件下，随机误,17,二、,正态分布函数及其特征点,1.概率密度函数为：,图2-3 随机误差的正态分布,其中，,为标准误差或,均方根误差，是正态分,布的重要参数，一旦确,定,f(x),为单值函数。,正态分布也叫,高斯分布,，,是随机误差的理论分布,规律，也称,误差法则,。,分布曲线如图2-3所示。,二、正态分布函数及其特征点1.概率密度函数为：图2-3 随,18,2.正态分布曲线的特点：,越小，正态分布曲线越陡，小误差出现的概,率大，说明测量值集中，测量精密度高。,表征,了测量值偏离真值的离散程度,。故,等精度测量,是一种,值相同的测量。,峰值点：,拐点：,2.正态分布曲线的特点：,19,从检测的角度看，正态分布常用,N(A,0,2,),表示。,A,0,和,分别为测量的真值和标准误差。设测量值,M,作为随机变量，它服从正态分布，则有：,实际数据分析中，常把,N(A,0,2,),变成标准正态分布,N(0,1),处理。只需令,使分布密度函数变为,：,从检测的角度看，正态分布常用N(A0,2)表示。A0 和,20,正态分布曲线的拐点；,算术平均误差：误差绝对值的平均值。,概率误差：随机误差落在该范围内外的概率相等。,极限误差：随机误差以给定概率（通常较大）落在极限误差的范围内。极限误差通常为标准误差的2倍或3倍。,3.,与随机误差有关的特征值,正态分布曲线最大值点,标准误差（标准偏差）：是方差 的平方根，它表示随机误差相对于中心位置的离散程度。,正态分布曲线的拐点；算术平均误差：误差绝对值的平均值。概,21,三、置信区间与置信概率,在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概率。两者是相互关联的，缺一不可。我们常说：,正常人体温在36 37之间,。隐含两个含义：一指正常人体温测量值在,36 37,范围内取值，二指大部分（99%）正常人体温在此范围，当然还有极小部分正常人体温可能略高于37或略低于36。这样两个含义就是置信区间和置信概率的概念。,置信区间,：定义为随机变量的取值范围，常用正态分布的标准误差,的倍数来表示，即,z，z,叫做置信系数。,置信概率,：随机变量在置信区间,z,内取值的概率。,三、置信区间与置信概率 在研究随机误差的统计,22,置信度,：把置信区间和置信概率结合起来称之为置信度，即可信程度。说明测量结果的可信度。,置信水平,：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。,置信概率,P,置信区间,不同的置信系数对应的置信概率可以查正态分布表得到。课本,P17,表2-1为其中的一部分。,置信区间、置信概率和,置信水平之间的关系如图所示。置信水平越高，置信概率越小，误差范围越小，测量的精度要求越高，测量的可靠性越低。实际测量中，置信概率95%可靠性就可以了。,置信度：把置信区间和置信概率结合起来称之为置信度，即可信程度,23,
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