高斯投影及计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,山东科技大学,测绘工程,2010,高斯投影小结,高斯投影计算内容,地面观测值归算到椭球面上以后，可通过两种途径获得各点的高斯平面直角坐标：,1,、由椭球面上各点大地坐标（,B,，,L,）求解各点高斯平面坐标（,x,，,y,）：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边大地线长度和大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）,2,、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。,高斯投影计算内容,高斯投影计算内容,两种方法,大地坐标,高斯直角,平面坐标,高斯投影,坐标公式,椭球面,解算平面三角形,平差计算,归算,椭球面,地面观测数据,归算,解算,高斯平面,归算,两种方法的结算结果完全一样，,但第一种的工作量非常大,。通常采用第二种方法，将控制网直接归化到高斯投影平面上，在平面上完成平差和各种计算工作,。,高斯投影计算内容,以三角网为例，介绍高斯投影计算的基本程序,（,a,）表示椭球面上的三角网，（,b,）为该三角网在高斯平面上的投影,。,高斯投影计算内容,12,、,13,为大地线,12,，,13,为曲率很小的曲线,高斯投影为,等角投影,，所以椭球面上,大地线之间的夹角,与高斯平面上,投影曲线之间的夹角相等,。但是，各,大地线的长度,与投影平面上的,投影曲线长度,并不相等，因为,投影存在长度变形,。,为了在平面进行三角网的平差和计算，必须把椭球面上以,大地线,构成的三角网,，换算成高斯投影平面上,以,直线边,构成的三角网,。,高斯投影计算内容,高斯投影计算内容,需进行下列计算,1,、将,起算点,的大地坐标（,B1,，,L1,）换算为高斯平面坐标（,x1,，,y1,），称为,高斯投影坐标计算,。,2,、将,起算边,的,大地方位角,A12,改换为,平面坐标方位角,T12,；,T12=A12-+12,式中，,为,子午线收敛角,，,12,为方向改正。,3,、将,起算边,的,大地线长度,S12,归算为高斯平面上的,直线长度,D12,：,D12=S12+S,式中,S,为距离改正,。,4,、对于,椭球面上三角网的各观测方向和观测边长,分别进行方向改正和距离改正，,归算为高斯平面上的直线方向和直线距离,。,5,、组成平面三角网，平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。,高斯投影计算内容,高斯投影计算内容,高斯投影计算内容,平面子午线收敛角,方向改正计算,距离改正计算,高斯投影坐标计算,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,第一种途径,第二种途径,补充概念,x=F1,（,B,、,L,）,y=F2,（,B,、,L,）,1,、任一点上，投影长度比,m,为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。,2,、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。,正形投影特性,投影数学法则,正形投影一般公式,根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西,(Cauchy),黎曼,(Riemann),条件，式中，,f,代表任意解析函数。,补充概念,高斯投影坐标计算,高斯投影坐标正算,由（,B,，,L,）求（,x,，,y,）,高斯投影坐标反算,由（,x,，,y,）求（,B,，,L,）,大地经度,L,是从起始子午面开始起算的,起始子午线作为投影的中央子午线,x=F1,（,B,l,）,y=F2,（,B,l,）,高斯投影各投影带以,L,0,为中央子午线,高斯投影坐标计算,一、由（,B,，,L,）计算（,x,，,y,）正算,高斯投影坐标计算,一、由（,B,，,L,）计算（,x,，,y,）正算,推证过程：,1,、高斯投影坐标正算函数式,2,、根据正形投影的一般公式,x+iy,=f,（,q+il,）以及高斯投影的条件推导正算公式，可以,将一般公式在,q,处展为,il,的台劳级数。,高斯投影坐标计算,3,、根据中央子午线长度比,m=1,，有,4,、由,求各阶导数,5,、将各阶导数代入上式得最后正算公式,。,高斯投影坐标计算,二、由（,x,，,y,）计算（,B,，,L,）反算,高斯投影坐标计算,反算推证过程：,1,、将正形投影公式写成反函数形式,2,、在,f,点（,Bf,，,0,）将上式展为,iy,的台劳级数,f,点的坐标为（,x+i0,）对应大地坐标为（,Bf,，,0,）,3,、对于,f,点，,F,（,x,）,=q,，即,(,F(x)f,=,qf,，,qf,为,f,点等量纬度。,高斯投影坐标计算,4,、求各阶导数并代回上式得：,5,、将,q,、,qf,变为,B-Bf,由,B=,（,q,）在,qf,处展为台劳级数，由等量纬度,q,与,B,的微分公式求得各系数，得,B,的计算公式和,l,的计算公式。,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,一、平面子午线收敛角的计算,1,、由大地坐标计算平面子午线收敛角,一、平面子午线收敛角的计算,2,、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,二、方向改正计算,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,二、方向改正计算,方向改正,正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正,。,适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式,上式的计算精度为,0.1,。,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,三、距离改正计算,距离改正,椭球面上大地线长,S,改换为平面上投影曲线两端点间的弦长,D,，要加距离改正,S,。,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,三、距离改正计算,投影长度比公式：,上式即为大地线长度,S,归算到高斯平面上直线距离,D,的计算公式，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归算又可再略去 项,。,椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面,谢谢观看,