命题,充要条件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节命题及其关系、充分条件与必要条件,1,命题的概念,用语言、符号或式子表达的，可以,的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做,，判断为假的语句叫做,判断真假,真命题,假命题,2,四种命题及其关系,(1),四种命题间的相互关系：,(2),四种命题的真假关系,两个命题互为逆否命题，它们有,的真假性；,两个命题互为逆命题或互为否命题，,它们的真假性,3,充分条件与必要条件,(1),如果,p,q,，则,p,是,q,的,条件，,q,是,p,的,条件,(2),如果,p,q,，那么,p,与,q,互为,(3),如果,p,q,，且,q,p,，,则,p,是,q,的,相同,没有关系,充分,必要,充要条件,既不充分又不必要条件,1,“,命题的否定,”,就是,“,否命题,”,这种判断是否正确？为什么？,【,提示,】,不正确，,概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定,构成不同，对于,“,若,p,，则,q,”,形式的命题，命题的否定为,“,若,p,，则,綈,q,”,；其否命题是,“,若,綈,p,，则,綈,q,”,，,真值不同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关,2,命题,“,若,p,，则,q,”,的逆命题为真，逆否命题为假，则,p,是,q,的什么条件？,【,提示,】,由逆命题为真，知,q,p,；逆否命题为假，,知,p q,；故,p,是,q,的必要不充分条件,1,(,人教,A,版教材习题改编,),下列命题正确的是,(,),“,a,b,”,是“,a,2,b,2,”,的充分条件；,“,|,a,|,|,b,|”,是“,a,2,b,2,”,的必要条件；,“,a,b,”,是“,a,c,b,c,”,的充要条件；,“,a,b,”,是“,ac,2,bc,2,”,的充要条件,A,B,C,D,【,解析,】,由于,|,a,|,|,b,|,a,2,b,2,，,a,b,a,c,b,c,，故正确由于,a,b,a,2,b,2,，且,a,2,b,2,a,b,，故错；当,c,2,0,时，,a,b ac,2,bc,2,，故错,【,答案,】,B,2,已知,a,，,b,，,c,R,，命题,“,若,a,b,c,3,，则,a,2,b,2,c,2,3,”,的否命题是,(,),A,若,a,b,c,3,，则,a,2,b,2,c,2,3,B,若,a,b,c,3,，则,a,2,b,2,c,2,3,C,若,a,b,c,3,，则,a,2,b,2,c,2,3,D,若,a,2,b,2,c,2,3,，则,a,b,c,3,【,解析,】,命题,“,若,p,，则,q,”,的否命题是,“,若,綈,p,，则,綈,q,”,，将条件与结论进行否定,否命题是：若,a,b,c,3,，则,a,2,b,2,c,2,3.,【,答案,】,A,【,答案,】,C,4,命题,“,若,a,3,，则,a,6,”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为,(,),A,1 B,2 C,3 D,4,【,解析,】,原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为,“,若,a,6,，则,a,3,”,是假命题，从而其否命题也是假命题，故选,B.,【,答案,】,B,5,(2012,天津高考,),设,R,，则,“,0,”,是,“,f,(,x,),cos(,x,)(,x,R,),为偶函数,”,的,(,),A,充分而不必要条件,B,必要而不充分条件,C,充分必要条件,D,既不充分也不必要条件,【,解析,】,若,0,，则,f,(,x,),cos,x,是偶函数，但是若,f,(,x,),cos(,x,),是偶函数，则,也成立故,“,0,”,是,“,f,(,x,),cos(,x,)(,x,R,),为偶函数,”,的充分而不必要条件,【,答案,】,A,(1),命题,p,：,“,若,a,b,，则,a,b,2 012,且,a,b,”,的逆否命题是,(,),A,若,a,b,2 012,且,a,b,，则,a,b,B,若,a,b,2 012,且,a,b,，则,a,b,C,若,a,b,2 012,或,a,b,，则,a,b,D,若,a,b,2 012,或,a,b,，则,a,b,(2),下列命题中为真命题的是,(,),A,命题,“,若,x,y,，则,x,|,y,|,”,的逆命题,B,命题,“,x,1,，则,x,2,1,”,的否命题,C,命题,“,若,x,1,，则,x,2,x,2,0,”,的否命题,D,命题,“,若,x,2,0,，则,x,1,”,的逆否命题,【,尝试解答,】,(1),“,且,”,的否定是,“,或,”,，根据逆否命题的定义知，逆否命题为,“,若,a,b,2 012,或,a,b,，则,a,b,”,，故选,C.,(2)A,中逆命题为,“,若,x,|,y,|,，则,x,y,”,是真命题；,B,中否命题为,“,若,x,1,，则,x,2,1,”,是假命题；,C,中否命题为,“,若,x,1,，则,x,2,x,2,0,”,是假命题；,D,中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题,【,答案,】,(1)C,(2)A,【,思路点拨,】,(1),直接根据逆否命题的定义写出，但应注意,“,且,”,的否定是,“,或,”,(2),分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假,(1),命题,“,若,x,、,y,都是偶数，则,x,y,也是偶数,”,的逆否命题是,(,),A,若,x,y,是偶数，则,x,与,y,不都是偶数,B,若,x,y,是偶数，则,x,与,y,都不是偶数,C,若,x,y,不是偶数，则,x,与,y,不都是偶数,D,若,x,y,不是偶数，则,x,与,y,都不是偶数,(2),(2013,启东模拟,),已知命题,p,：若,a,0,，则方程,ax,2,2,x,0,有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为,_,【,解析,】,(1),“,x,y,是偶数,”,的否定为,“,x,y,不是偶数,”,，,“,x,，,y,都是偶数,”,的否定为,“,x,，,y,不都是偶数,”,因此其逆否命题为,“,若,x,y,不是偶数，则,x,，,y,不都是偶数,”,故选,C.,(2),命题,p,是真命题，从而其逆否命题也是真命题；命题,p,的逆命题是,“,若方程,ax,2,2,x,0,有解，则,a,0,”,是假命题，从而命题,p,的否命题也是假命题，故真命题的个数为,2.,【,答案,】,(1)C,(2)2,【,思路点拨,】,(1),把条件和结论转化为,x,的取值范围，通过集合间的关系来判断,(2),根据,B,是,A,的真子集,可求,m,的值，取其中的一个,m,值即可,【,答案,】,(1)B,(2),m,0(,答案不唯一,),下面四个条件中，使,a,b,成立的充分而不必要的条件是,(,),A,a,b,1,B,a,b,1,C,a,2,b,2,D,a,3,b,3,【,解析,】,由,a,b,1,，且,b,1,b,，得,a,b,；反之不成立故选,A.,【,答案,】,A,(2013,大同模拟,),设命题,p,：,2,x,2,3,x,1,0,；,命题,q,：,x,2,(2,a,1),x,a,(,a,1),0,，若,非,p,是,非,q,的必要不充分条件，则实数,a,的取值范围是,_,【,思路点拨,】,先解不等式把命题,p,、,q,具体化，再由互为逆否命题的等价性确定,p,、,q,之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解,【,答案,】,9,，,),“,A,是,B,的充分不必要条件,”,中，,A,是条件，,B,是结论；,“,A,的充分不必要条件是,B,”,中，,B,是条件，,A,是结论在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别,1.,逆命题与否命题互为逆否命题；,2,互为逆否命题的两个命题同真假,充分条件、必要条件的判断方法,1,定义法：直接判断,“,若,p,则,q,”,、,“,若,q,则,p,”,的真假并注意和图示相结合，例如,“,p,q,”,为真，则,p,是,q,的充分条件,2,等价法：利用,p,q,与,非,q,非,p,，,q,p,与,非,p,非,q,，,p,q,与,非,q,非,p,的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法,3,集合法：若,A,B,，则,A,是,B,的充分条件或,B,是,A,的必要条件；若,A,B,，则,A,是,B,的充要条件,易错辨析之一两种不同的叙述方式不清致误,(2012,山东高考,),设,a,0,且,a,1,，则,“,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函数,”,是,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,的,(,),A,充分不必要条件,B,必要不充分条件,C,充分必要条件,D,既不充分也不必要条件,【,错解,】,“,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函数,”,的充要条件是,p,：,0,a,1.,因为,g,(,x,),3(2,a,),x,2,，而,x,2,0,，又因为,a,0,且,a,1,，所以,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,的充要条件是,0,a,2,且,a,1.,故,“,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函数,”,是,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,的必要不充分条件，故选,B.,【,答案,】,B,错因分析：,(1),错选,B,，究其原因是将,“,p,是,q,的充分不必要条件,”,与,“,p,的一个充分不必要条件是,q,”,混淆，导致颠倒充分性与必要性,(2),不会用集合法判断充要条件,防范措施：,(1),在判断充要条件的问题中，,“,p,是,q,的充分不必要条件,”,与,“,p,的一个充分不必要条件是,q,”,这两种叙述的含义是不同的，,“,p,的一个充分不必要条件是,q,”,等价于,“,q,是,p,的充分不必要条件,”,，解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再进行判断,(2),设,p,，,q,对应的集合分别为,A,，,B,，则,p,，,q,之间的关系可转化为相应的两个集合之间的关系，,“,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函数,”,为真时，,a,的取值集合,A,(0,1),；,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,为真时，,a,的取值集合,B,(0,1),(1,2),显然,A B,，故,p,是,q,的充分不必要条件,【,正解,】,“,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函数,”,的充要条件是,p,：,0,a,1.,因为,g,(,x,),3(2,a,),x,2,，而,x,2,0,，所以,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,的充要条件是,2,a,0,，即,a,2.,又因为,a,0,且,a,1,，所以,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,的充要条件是,q,：,0,a,2,且,a,1.,显然,p,q,，但,q p,，所以,p,是,q,的充分不必要条件，即,“,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函数,”,是,“,函数,g,(,x,),(2,a,),x,3,在,R,上是增函数,”,的充分不必要条件，故选,A.,【,答案,】,A,1,(2012,北京高考,),设,a,，,b,R.,“,a,0,”,是,“,复数,a,b,i,是纯虚数,”,的,(,),A,充分而不必要条件,B,必要而不充分条件,C,充分必要条件,D,既不充分也不必要条件,【,解析,】,当,a,0,，且,b,0,时，,a,b,i,不是纯虚数；若,a,b,i,是纯虚数，则,a,0.,故,“,a,0,”,是,“,复数,a,b,i,是纯虚数,”,的必要而不充分条件,【,答案,】,B,2,(2013,西安模拟,),设,n,N,，一元二次方程,x,2,4,x,n,0,有整数根的充要条件是,n,_.,【,答案,】,3,或,4,