资源描述
,题型分类突破,素养训练提高,专题五规律探索题,专题五规律探索题,题型概述,方法指导,规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题,.,规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力,.,考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续,6,年都有考查,预计这类题仍然是,2019,年中考的热点,.,题型概述方法指导规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已,题型概述,方法指导,解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用,.,1.,解决这类问题的关键是发现和把握规律,.,题目中呈现规律一般有三种主要途径,:,(1),式与数的特征观察,.,(2),图形的结构观察,.,(3),通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况,.,2.,规律探究的基本原则,:,(1),遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律,.,(2),遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找,3,个,发现规律,再验证运用规律,.,题型概述方法指导解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结,类型一,类型二,类型一类型二,类型一,类型二,类型一数式的变化规律,例,1(,安徽,18),见正文,P9,第,3,题,类型三,类型一类型二类型一数式的变化规律类型三,类型一,类型二,例,2(,安徽,19)【,阅读理解,】,我们知道,1+2+3+n=,那么,12+22+32+n2,结果等于多少呢,?,在图,1,所示的三角形数阵中,第,1,行圆圈中的数为,1,即,12;,第,2,行两个圆圈中数的和为,2+2,即,22;,第,n,行,n,个圆圈中数的和为,类型三,类型一类型二例2(安徽,19)【阅读理解】在图1所示的三角,类型一,类型二,【,规律探究,】,将三角形数阵型经过两次旋转可得如图,2,所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数,(,如第,n-1,行的第,1,个圆圈中的数分别为,n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为,.,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为,:,3(12+22+32+n2)=,.,因此,12+22+32+n2=,.,【,解决问题,】,类型三,类型一类型二【规律探究】【解决问题】类型三,类型一,类型二,分析,:【,规律探究,】,将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的,从而得出答案,;【,解决问题,】,运用以上结论,将原式变形为,类型三,类型一类型二分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,类型一,类型二,解,:【,规律探究,】,由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为,n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为,:,3(12+22+32+n2),【,解决问题,】,类型三,类型一类型二解:【规律探究】【解决问题】类型三,类型一,类型二,类型二图形的变化规律,例,3(2020,安徽,18)(1),观察下列图形与等式的关系,并填空,:,类型三,类型一类型二类型二图形的变化规律类型三,类型一,类型二,(2),观察下图,根据,(1),中结论,计算图中黑球的个数,用含,n,的代数式填空,:,1+3+5+(2n-1)+(,)+(2n-1)+5+3+1=,.,分析,:(1),根据,1+3+5+7=16,可得出,16=42;,设第,n,幅图中球的个数为,an,列出部分,an,的值,根据数据的变化找出变化规律“,an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题,;,(2),观察,(1),可将,(2),图中的黑球分三部分,1,到,n,行,第,n+1,行,n+2,行到,2n+1,行,再结合,(1),的规律即可得出结论,.,类型三,类型一类型二(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的,类型一,类型二,解析,:(1)1+3+5+7=16=42,设第,n,幅图中球的个数为,an,观察,发现规律,:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,故,an-1=1+3+5+(2n-1)=n2.,(2),观察图形发现,:,图中黑球可分三部分,1,到,n,行,第,n+1,行,n+2,行到,2n+1,行,即,1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.,答案,:(1)4,n2,(2)2n+1,2n2+2n+1,类型三,类型一类型二解析:(1)1+3+5+7=16=42,类型三,类型一,类型二,例,4,安徽,17),在由,mn(mn1),个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数,f,(1),当,m,n,互质,(m,n,除,1,外无其他公因数,),时,观察下列图形并完成下表,:,类型三,类型一类型二例4安徽,17)在由mn(mn1)个小正,类型一,类型二,猜想,:,当,m,n,互质时,在,mn,的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数,f,与,m,n,的关系式是,(,不需要证明,);,(2),当,m,n,不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立,.,分析,:(1),通过题中所给网格图形,先计算出,25,34,对角线所穿过的小正方形个数,f,再对照表中数值归纳,f,与,m,n,的关系式,.,(2),根据题意,画出当,m,n,不互质时,结论不成立的反例即可,.,类型三,类型一类型二猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条,类型一,类型二,解,:(1),如表,:,f=m+n-1,(2),当,m,n,不互质时,上述结论不成立,如图,.,类型三,类型一类型二解:(1)如表:类型三,类型一,类型二,类型三,类型三直角坐标系下点的坐标变化规律,例,5(2013,安徽,18),我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图,1,所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有,7,个特征点,将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图,2,图,3,类型一类型二类型三类型三直角坐标系下点的坐标变化规律,类型一,类型二,类型三,(1),观察以上图形并完成下表,:,猜想,:,在图,(n),中,特征点的个数为,(,用,n,表示,);,(2),如图,将图,(n),放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心,O1,的坐标为,(x1,2),则,x1=,;,图,2013,的对称中心的横坐标为,.,类型一类型二类型三(1)观察以上图形并完成下表:,类型一,类型二,类型三,分析,:(1),观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一次,特征点增加,5,个,由此得出图,4,中特征点的个数为,17+5=22,个,进一步猜想出,:,在图,n,中,特征点的个数为,:7+5(n-1)=5n+2.,类型一类型二类型三分析:(1)观察图形,结合已知条件,得出将,类型一,类型二,类型三,解析,:(1),由题意,可知图,1,中特征点有,7,个,;,图,2,中特征点有,12,个,12=7+51;,图,3,中特征点有,17,个,17=7+52;,所以图,4,中特征点有,7+53=22,个,;,由以上猜想,:,在图,n,中,特征点的个数为,:7+5(n-1)=5n+2.,(2),如图,过点,O1,作,O1My,轴于点,M,类型一类型二类型三解析:(1)由题意,可知图1中特征点有7个,类型一,类型二,类型三,类型一类型二类型三,1,2,3,4,5,6,7,8,12345678,1,2,3,4,5,6,7,8,12345678,1,2,3,4,5,6,7,8,2.(,湖北武汉,),将正整数,1,至,2 018,按一定规律排列如下表,:,平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是,(D,),A.2 019B.2 018,C.2 016D.2 013,123456782.(湖北武汉)将正整数1至2 018按一,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,:,相邻三个整数的和是,3,的倍数,所给出的选项不是,3,的倍数的不符合题意,;,表格中每一行,8,个数,用所给选项除以,3,再除以,8,根据余数判断平移后的三个数是否在一行,在一行的符合题意,得出答案,.,设中间的数为,x,则这三个数分别为,x-1,x,x+1.,这三个数的和为,3x,所以和是,3,的倍数,又,2 0193=673,673,除以,8,的余数为,1,x,在第,1,列,(,舍去,);2 1083=672,且余,2,故排除,;2 0163=672,672,除以,8,的余数为,0,x,在第,8,列,(,舍去,);2 0133=671,671,除以,8,的余数为,7,x,在第,7,列,所以这三数的和是,2 013,故选答案,D.,12345678解析:相邻三个整数的和是3的倍数,所给出的选,1,2,3,4,5,6,7,8,3.(,重庆,B,卷,),下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第个图形中有,3,张黑色正方形纸片,第个图形中有,5,张黑色正方形纸片,第个图形中有,7,张黑色正方形纸片,按此规律排列下去,第个图形中黑色正方形纸片的张数为,(B,),A.11B.13C.15D.17,解析,:,根据第个图形中小正方形的个数为,21+1,第个图形中小正方形的个数为,22+1,第个图形中小正方形的个数为,23+1,第,n,个图形中小正方形的个数为,2n+1,故第个图形中小正方形的个数为,26+1=13,故选,B.,123456783.(重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑,1,2,3,4,5,6,7,8,4.(,安徽,),按一定规律排列的一列数,:21,22,23,25,28,213,若,x,y,z,表示这列数中的连续三个数,猜测,x,y,z,满足的关系式是,xy=z,.,解析,:,首项判断出这列数中,2,的指数各项依次为,1,2,3,5,8,13,从第三个数起,每个数都是前两数之和,;,然后根据同底数的幂相乘,底数不变,指数相加,可得这列数中的连续三个数,满足,xy=z,据此解答即可,.2122=23,2223=25,2325=28,2528=213,x,、,y,、,z,满足的关系式是,:xy=z.,故答案为,xy=z.,123456784.(安徽)按一定规律排列的一列数:21,1,2,3,4,5,6,7,8,5.(,辽宁抚顺,),如图,正方形,AOBO2,的顶点,A,的坐标为,A(0,2),O1,为正方形,AOBO2,的中心,;,以正方形,AOBO2,的对角线,AB,为边,在,AB,的右侧作正方形,ABO3A1,O2,为正方形,ABO3A1,的中心,;,再以正方形,ABO3A1,的对角线,A1B,为边,在,A1B,的右侧作正方形,A1BB1O4,O3,为正方形,A1BB1O4,的中心,;,再以正方形,A1BB1O4,的对角线,A1B1,为边,在,A1B1,的右侧作正方形,A1B1O5A2,O4,为正方形,A1B1O5A2,的中心,;,按照此规律继续下去,则点,O2 018,的坐标为,(21 010-2,21 009),.,123456785.(辽宁抚顺)如图,正方形AOBO2的顶,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,:,由题图可知,A1B,上有点,O2,A2B1,上有点,O4,A3B2,上有点,O6,可得点,O2 018,在,A1 009B1 008,上,即点,O6,的纵坐标为点,A1 009,纵坐标的一半,横坐标与点,A1 009,B1 008,的横坐标相同,.,设直
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