微积分基本公式(30)课件

,*,/,29,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,1959,微积分,六,*,*,课前练习,2024/11/20,1,证,（此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围）,性质,5(,估值定理,),定积分的性质,2024/11/20,2,解：,例,.,估计 的值,定积分的性质,2024/11/20,3,性质,6,（定积分中值定理）,积分中值公式,定积分的性质,2024/11/20,4,积分中值公式的几何解释：,定积分的性质,2024/11/20,5,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,Fundamental Theorem of Calculus,微,积,分,电,子,教,案,6.3,微积分基本公式,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,1959,三、牛顿莱布尼兹公式,a,b,x,y,o,一、积分上限函数,二、微积分基本定理,2024/11/20,6,一、积分上限函数,设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续，对,x,a,b,，则,f,(,x,),在部分区间,a,x,上连续，因而可积。,即定积分,称为,积分上限函数,或,变上限积分,a,b,x,y,o,其,几何意义,为图中阴影部分面积,且对,a,b,上的每一个,x,，都有唯一的一个值与之对应。,存在,2024/11/20,7,二、微积分基本定理,定理,1,若,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,则积分上限函数,在,a,b,上可导，且它的导数是,定理,2,（原函数存在定理）,如果 在 上连续，则积分上限的函数,就是 在 上的一个原函数,.,2024/11/20,8,二、微积分基本定理,肯定了连续函数的原函数是存在的,.,初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,.,定理的重要意义：,即,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数,.,定理,1,若,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,则积分上限函数,在,a,b,上可导，且它的导数是,2024/11/20,9,二、微积分基本定理,即,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数,.,思考如果,定理,1,说明,积分上限函数,对积分上限的导数等于被积函数在积分上限处的值即,定理,1,若,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,则积分上限函数,在,a,b,上可导，且它的导数是,2024/11/20,10,二、微积分基本定理,思考如果,一般地，若,f,(,t,),连续，,u,(,x,),，,v,(,x,),可导，则,2024/11/20,11,例,1,解：,求下列函数的导数,二、微积分基本定理,2024/11/20,12,二、微积分基本定理,2024/11/20,13,例,2,求,解：,二、微积分基本定理,2024/11/20,14,例,3,解：,二、微积分基本定理,2024/11/20,15,二、微积分基本定理,证,例,4,2024/11/20,16,么么么么方面,Sds,绝对是假的,二、微积分基本定理,故,在 内为单调增加函数,.,2024/11/20,18,证,令,例,5,二、微积分基本定理,在,上为连续单调增加函数,.,2024/11/20,19,定理,3,(,微积分基本公式,),设,f,(,x,),在,a,b,上连续，若,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数，则,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,证,令,牛顿,莱布尼茨公式,公式沟通了微分学与积分学之间的关系,2024/11/20,20,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题,.,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,2024/11/20,21,例,6,求,例,7,求,解,解,N-L,公式的应用举例,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,2024/11/20,22,例,8,解,:,注：被积函数是分段函数利用积分区间的可加性求解。,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,2024/11/20,23,例,9,解,:,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,2024/11/20,24,例,9,注：,f,(,x,),是在,0,2,上“只有有限个间断点的有界函数”,它是可积的,.,改变了,f,(,x,),在,x=,1,的函数值,注,:,改变被积函数在有限个点的函数值,不影响积分结果,.,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,2024/11/20,25,注,：若,f,(,x,),在积分区间,a,b,上存在第二类间断点,则不能使用牛顿,-,莱布尼兹公式,.,例如,:,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,2024/11/20,26,解,令 ，,于是：,即,故,于是,例,10,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,注意：,这是常见题型,一般思路,:1),假设,2),循环利用假设,2024/11/20,27,三、牛顿,-,莱布尼茨公式,例,11.,求,f,(0),f,(,x,),解,即,两边求不定积分得,将,f,(0)=1,代入上式得,C,=0,于是,两边求导数得：,注意：例,10,与例,11,之间的区别,2024/11/20,28,6.3,微积分基本公式,小结,1,、积分上限函数,2,、微积分基本定理,3,、牛顿,莱布尼茨公式,求导数,求极限,求极值,2024/11/20,29,作业：,P225,1(1,，,2);2(2,4,7,11,12);,3;6;8.,2024/11/20,30,思考,已知,求,解：,由（,1,）（,2,）解之得,2024/11/20,31,课前练习,2024/11/20,32,课前练习,2024/11/20,33,