《垂直于弦的直径》公开课课件1

垂直于弦的直径,圆的有关性质,九年级上册,RJ,初中数学,连接圆上任意两点的,线段,叫做,弦,.,(2),圆心为,O,、半径为,r,的圆可以看成是所有到定点,O,的距离等于定长,r,的,点的集合,1.,圆的定义,(1),在一个平面内，线段,OA,绕它固定的一个端点,O,旋转一周，另一个端点,A,所形成的图形叫做圆,2.,弦的定义,3.,弧的定义,圆上任意两点间的部分叫做,弧,.,知识回顾,1.,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形,.,2.,理解,垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题,.,3.,灵活运用垂径定理解决有关圆的问题,.,学习目标,赵州桥,是我国隋代建造的石拱桥，,距今,约有,1 400,年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,.,它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为,37,m,，拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,m,.,求赵州桥主桥拱的,半径,(,结果保留小数点后一位,).,课堂导入,你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？,知识点,1,新知探究,剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？,圆的对称性：,圆是轴对称图形，,任意一条直径所在的直线都是圆的,对称轴,.,O,注意：,不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段,.,知识点,1,新知探究,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,.,思路引导：,要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上,.,求证,证明：如图，,CD,是,O,的任意一条直径，,A,A,是弦，使,AA,CD,，垂足为,M,M,O,A,A,C,D,连接,OA,，,OA,则,OA,=,OA,.,AA,CD,，,CD,是,AA,的垂直平分线,.,对于圆上任意一点,A,，在圆上都有关于直线,CD,的对称点,A,，即,O,关于直线,CD,对称,.,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴,.,如图，,O,的直径,CD,垂直于弦,AB,垂足为,E,.,仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,知识点,2,新知探究,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦所对的两条弧,.,已知,结论,CD,是直径,CD,AB,AE,=,BE,(,(,AD,=,BD,(,(,AC,=,BC,垂径定理的几个基本图形：,A,B,O,C,D,E,A,B,O,E,D,A,B,O,D,C,A,B,O,C,1.,下列图形中能否得到,AE,=,BE,，为什么？,不能,不能,能,能,跟踪训练,新知探究,B,D,A,E,C,O,D,C,E,A,O,B,C,A,D,E,B,O,A,B,O,E,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,.,2.,如图,已知,O,的半径,OB,=5,，,OP,AB,，垂足为,P,，且,OP,=3,，则,AB,=_.,8,P,O,A,B,C,D,由,OB,OP,求得,BP,求得,AB,勾股,定理,垂径,定理,解：,OB,=5,，,OP,=3,BP,=,4,OP,AB,，,OP,为直径，,AB,=2,BP,=8,.,在圆上任意作一条弦,AB,，你能否找到平分弦,AB,的直径吗,?,思考：此时,AB,与,CD,的位置关系？,知识点,3,新知探究,O,A,B,C,D,E,F,M,N,圆的对称轴一定经过圆心,如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？,当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，,解：如图，设这座拱桥的截面为,当AC的位置如图1所示时，连接AO.,一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.,已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB/CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.,PEAB,PED也为等腰直角三角形.,并且平分弦所对的两条弧.,构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.,而OM与MB不一定相等，选项D不一定正确.,设OA=r m，则OD=OC-DC=(r-2.,当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，,CD是AA的垂直平分线.,仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？,ACD=ADC，,并且平分弦所对的两条弧.,解：分两种情况进行讨论：,PDE=ODC=45.,在RtOAD中，OA=5，AD=4，,如果弦,AB,是过圆心的弦呢,?,平分弦,AB,的直径,CD,一定会垂直弦,AB,吗？,想一想：,O,A,B,C,D,O,A,B,C,D,已知,结论,CD,过圆心,AB,不是直径,推论：,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,.,O,A,B,C,D,CD,AB,(,(,AD,=,BD,(,(,AC,=,BC,AE,=,BE,E,解：分两种情况进行讨论：,FN=DH=OH-OD=3.,过点O作OFCD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA.,圆心，过点O作OCAB于点D，,CD是AA的垂直平分线.,OA=OC=10cm，由勾股定理,得EO=6cm，OF=8cm，,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.,解：分两种情况进行讨论：,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，,所以R22+（R）2.,如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？,对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，即O关于直线CD对称.,由题意，可知AB=37m，CD，,把x=3代入y=x，得y=3，,当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，,并且平分弦所对的两条弧.,由题意，可知AB=37m，CD，,在RtPBE中，PB=3，,如图，O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E.,在RtPBE中，PB=3，,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：,过圆心,1,垂直于弦,2,平分弦（非直径）,3,平分弦所对的优弧,4,平分弦所对的劣弧,5,上述五个条件中的任意,个条件，都可以推出其他,个结论,.,(,知二推三,).,两,三,问题解决：,赵州桥,是我国隋代建造的石拱桥，,距今,约有,1 400,年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,.,它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为,37m,，拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,.,求赵州桥主桥拱的半径,(,结果,保留小数点后一位,).,所以,R,22,+,（,R,）,2,.,由题意，可知,AB,=37m,，,CD,，,解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为,R,m,.,则,AD,，,解得,R,27.3.,因此，赵州桥的主桥拱半径约为,27.3 m.,A,C,B,D,O,37,18.5,R,R,-7.23,7.23,在圆中有关弦长,a,，半径,r,，,弦心距,d,（圆心到弦的距离），弓形高,h,的计算题时，常常通过连,半径,或作,弦心距,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,总结,弓形中重要数量关系,A,B,C,D,O,h,r,d,弦,a,，弦心距,d,，弓形高,h,，半径,r,之间有以下关系：,d+h=r,O,A,B,C,d,r,如图，,AB,是圆,O,的弦，半径,OC,AB,于点,D,，,若圆,O,的半径为,5,，,AB,=8,，则,CD,的长是,(),A,解：,OC,AB,，,跟踪训练,新知探究,O,A,B,C,D,在Rt,OAD,中，,OA,=5，,AD,=4，,CD,=,OC,-,OD,=5-3=2,1,.,下列说法正确的是,(,),A,.,每一条直径都是圆的对称轴,B,.,圆的对称轴是唯一的,C,.,圆的对称轴一定经过圆心,D,.,圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线,随堂练习,C,圆的对称轴是直线，不是线段,.,无数条,一定经过圆心,圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线,所以R22+（R）2.,构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.,解：作PCx 轴于点C，交AB于点D，作PEAB于点E，连接PB，如图.,圆上任意两点间的部分叫做弧.,ACD=ADC D.,解：分两种情况进行讨论：,FN=DH=OH-OD=3.,圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.,注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.,同理可得OM=3cm，,AB=2 BP=8.,解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m.,如图，O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E.,求赵州桥主桥拱的半径(结果,由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，,已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB/CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.,已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB/CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.,解：如图，设这座拱桥的截面为,2.,AB,是,O,的直径，弦,CD,AB,，,垂足为,M,，,则下列结论不一定正确的是,(),A.,CM,=,DM,B.,BC,=,BD,C,.,ACD,=,ADC,D,.,OM,=,MB,D,M,O,A,B,C,D,在,ACM,和,ADM,AM,=,AM,AMC,=,AMD,=90,，,CM=DM,ACM,ADM,，,ACD,=,ADC,，,而,OM,与,MB,不一定相等，选项,D,不一定正确,.,故选项,C,正确；,(,(,解析：,根据垂径定理，可得,CM,=,DM,，,故选项,A,B,正确；,BC,=,BD,(,(,3.,已知圆,O,的半径为,10 cm,，,AB,，,CD,是圆,O,的两条弦，,AB,/,CD,，,AB,=16 cm,，,CD,=12 cm,，则弦,AB,和,CD,之间的距离是,cm.,解：,分两种情况进行讨论：,当弦,AB,和,CD,在圆心同侧时，如图1，,过,点,O,作,OF,CD,，,垂足为,F,，交,AB,于,点,E,，连接,OC,，,OA,.,AB,/,CD,，,O,E,AB,.,AB,=1,6,cm，,CD,=1,2,cm,A,E,=,8,cm，,C,F,=,6,cm，,OA,=,OC,=10cm，,由勾股定理,得,EO,=6cm，,OF,=8cm，,EF,=,OF,-,OE,=2,cm,.,B,C,D,E,F,O,A,图,1,当弦,AB,和,CD,在圆心异侧时,过,点,O,作,OE,CD,交,CD,于点,E,延长,E,O,交,AB,于点,F,连接,OC,OA,如图2所示，,O,A,B,C,D,图,2,E,F,AB,/,CD,，,O,F,AB,.,AB,=1,6,cm，,CD,=1,2,cm，,由勾股定理，得,OE,=8cm，,OF,=6cm，,EF,=,OF,+,OE,=14cm,.,综上所述：,AB,和,CD,之间的距离为2cm或14cm,.,A,F,=,8,cm，,C,E,=,6,cm,.,OA,=,OC,=10cm，,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足,:,过圆心,;,垂直于弦,;,平分弦（不是直径）,;,平分弦所对的优弧,;,平分弦所对的劣弧,.,满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线：连半径，作弦心距,构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程,.,基本图形及变式图形,课堂小结,对接中考,在RtPBE中，PB=3，,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.,作矩形MNFE，使点M，N在AB上，MN交OC于点H，,FN=DH=OH-OD=3.,圆上任意两点间的部分叫做弧.,由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，,垂径定理的几个基本图形：,仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？,而OM与MB不一定相等，选项D不一定正确.,当AC的位置如图1所示时，连接AO.,AB/CD，OFAB.,一条直线满足: