向量组的秩剖析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,*,页,第,1,页,第三节 向量组的秩,第1页第三节 向量组的秩,第,2,页,向量组线性表出具有传递性,第2页向量组线性表出具有传递性,第,3,页,向量组的等价,向量组等价意味着可以相互表示,No.,需要什么条件,?,第3页向量组的等价No.,向量组的等价关系,反身性,对称性,传递性,第,4,页,向量组的等价关系反身性对称性传递性第4页,第,5,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,第5页向量组的极大线性无关组与向量组的秩,第,6,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,没有多余的,第6页向量组的极大线性无关组与向量组的秩没有多余的,第,7,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,和原向量组等价,第7页向量组的极大线性无关组与向量组的秩和原向量组等价,第,8,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,两个条件缺一不可,第8页向量组的极大线性无关组与向量组的秩两个条件缺一不可,第,9,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,在向量组中挑选一些向量出来,始终保持线性无关的性质,所需要向量的最大个数,第9页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向,第,10,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,在向量组中挑选一些向量出来,始终保持线性相关的性质,所需要向量的最少个数,然后减去,1,第10页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些,第,11,页,向量组的极大线性无关组与向量组的秩,什么样的向量组没有极大线性无关组,只含有,0,向量的向量组,第11页向量组的极大线性无关组与向量组的秩什么样的向量组没有,第,12,页,向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价,由向量组等价的传递性,向量组的两个不同的极大线性无关组之间是等价的.,与原向量组等价的线性无关的向量组,第12页向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价与原向量组,第,13,页,第13页,第,14,页,第14页,第,15,页,由已知条件,st,齐次方程组,Ax=0,中未知数比方程组多,必有非,0,解,第15页由已知条件st齐次方程组Ax=0中未知数比方程组多,第,16,页,逆否命题,反证法,第16页逆否命题,第,17,页,推论,1,：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必定相等。,推论,2,：一个向量组若有两个极大线性无关组，那么他们所含的向量的个数相等。,没有极大线性无关组,第17页推论1：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必,第,18,页,第18页,第,19,页,关于向量组的秩的有关结论,(,好记,常用,),第19页关于向量组的秩的有关结论(好记,常用),第,20,页,向量组的秩与矩阵的秩的关系,定义：矩阵的行秩与列秩,定理：矩阵的秩,=,矩阵的列秩,=,矩阵的行秩,(,证明给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法,),第20页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩,第,21,页,向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理：矩阵的秩,=,矩阵的列秩,=,矩阵的行秩,找到一个,3,级子式非,0,这个,3,级子式对应的,3,个行向量线性无关,3,个列向量也线性无关,第21页向量组的秩与矩阵的秩的关系找到一个3级子式非0这个3,理清上述过程,给出求极大线性无关组的方法,向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理：矩阵的秩,=,矩阵的列秩,=,矩阵的行秩,第,22,页,我们得到这,3,个向量,线性无关,且所有向量都可被它们线性表示,他们构成列的极大线性无关组,理清上述过程,给出求极大线性无关组的方法向量组的秩与矩阵的,第,23,页,向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理：矩阵的秩,=,矩阵的列秩,=,矩阵的行秩,(,给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法,1),1.,初等变换得到矩阵的秩为,r2.,在矩阵中找到一个,r,级子式不等于,03.,这个,r,级子式对应的行,(,列,),是行,(,列,),向量组的极大线性无关组,第23页向量组的秩与矩阵的秩的关系,第,24,页,向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理：矩阵的秩,=,矩阵的列秩,=,矩阵的行秩,(,给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法,2),1.,将向量组按列摆放为一个矩阵,(,如果是列向量,直接按列摆放,如果是行向量,则先转置成列向量,再摆放,)2.,对矩阵只做行变换化为规范的阶梯形矩阵,3.,所得矩阵中,非,0,行数目就是矩阵的秩,也就是向量组的秩,4.,非,0,行中第一非,0,元素,1,所对应的列,放在一起形成极大线性无关组,且容易得到其他向量的表示系数,第24页向量组的秩与矩阵的秩的关系,第,25,页,第25页,第,26,页,非,0,行的数目,=,矩阵的秩,=,向量组的秩,第26页非0行的数目=矩阵的秩=向量组的秩,第,27,页,挑选规范行阶梯阵中非,0,行第一个非,0,元素,1,对应的列,构成极大线性无关组,第27页挑选规范行阶梯阵中非0行第一个非0元素1对应的列,构,第,28,页,其他向量的表示系数可以直接由规范的行阶梯阵得到,第28页其他向量的表示系数可以直接由规范的行阶梯阵得到,第,29,页,回忆,第29页回忆,第,30,页,r(A)=0,意味着,A=0,从而向量组,1,2,都是,0,向量,从而秩也为,0,第30页r(A)=0意味着A=0,从而向量组1,2,第,31,页,不妨设,A,的前,r,列是,A,的列向量组的极大线性无关,所以,A=(B,C),这里,B,是前,r,列组成的矩阵,那么后面,r,列,可以由前面,r,列线性表示,意味着存在矩阵,D,，使得,C=BD,故,A=(B,BD),第31页不妨设A的前r列是A的列向量组的极大线性无关,所以A,第,32,页,得到表达式说明向量组,1,2,m,可以由向量组,1,2,r,线性表示,.,下面需要说明,1,2,r,线性无关,反证,:,设,1,2,r,线性相关,将导致方程组,Bx=0,有非,0,解,从而,B,的列向量组是线性相关的,这与,B,的列是,A,的极大线性无关组矛盾,.,第32页得到表达式说明向量组1,2,m可以由向量组,这说明矩阵,AB,的列向量组可由矩阵,A,的列向量组线性表示,向量组,I,可由向量组,II,线性表示,那么组,I,的秩小于或等于组,II,的秩,第,33,页,这说明矩阵AB的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示向量组I,第,34,页,这说明矩阵,AB,的行向量组可由矩阵,B,的行向量组线性表示,第34页这说明矩阵AB的行向量组可由矩阵B的行向量组线性表示,第,35,页,第35页,第,36,页,利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系讨论矩阵的秩,(,也可用矩阵秩的定义讨论,),第36页利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系讨论矩阵的秩(也可,第,37,页,第37页,第,38,页,第38页,第,39,页,第39页,第,40,页,作业,习题三,:,第,14,、,15,、,17,、,19,、,21,、,22,题,第40页作业习题三:第14、15、17、19、21、,第,41,页,Thank you,for your attention!,第41页Thank you,