数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 引言,第6章 解线性代数方程组的迭代法,考虑线性方程组,也就是 AX=b.(1.1),低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)。,1 引言第6章 解线性代数方程组的迭代法考虑线性方程组,1,大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方程数值解产生的线性方程组,n10,4,)的求解问题？,零元素多，适合用迭代法。,我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。,例1,求解线性方程组,大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方程,2,记为Ax=b,即,精确解x,*,=(3,2,1),T,.,改写(1.2)为,或写为x=B,0,x+f,即,记为Ax=b,即精确解x*=(3,2,1)T.改写(1.2),3,任取初值,如x,(0),=(0,0,0),T,代入(1.3)得到x,(1),=,(2.5,3,3),T,.,反复迭代,即 x,(k+1),=B,0,x,(k),+f，(k=0,1,2,),任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x,4,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,5,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,6,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,7,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,8,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,9,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,10,例3，P184,例4，P185,例3，P184,11,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,12,定理6只给出迭代法收敛的一个充分条件，即使条件|B|1对任何常用范数均不成立，迭代序列仍肯收敛。,P186 例 5,定理6只给出迭代法收敛的一个充分条件，即使条件|B|,1超松驰,1低松驰;,4)控制迭代终止的条件:,例3,用上述迭代法解线性代数方程组,初值x,(0),=0，写出计算格式。,P195.,说明:1)=1,GS;4)控制迭代终止的条件:例,28,1)Jacobi:B,J,=D,-1,(L+U)，f,J,=D,-1,b;,2)Gauss-Seidel:B,G,=(D-L),-1,U，f,G,=(D-L),-1,b;,3)SOR:B,SOR,=(D-wL),-1,(1-w)D+wU，f,SOR,=w(D-wL),-1,b.,迭代的统一格式：x,(k+1),=Bx,(k),+f,1)Jacobi:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b,29,例5,考察用雅可比迭代法求解线性方程组,例5 考察用雅可比迭代法求解线性方程组,30,定义3,（1）按行严格对角占优：,（2）按行弱对角占优：,上式至少有一个不等号严格成立。,二、某些特殊方程组的迭代收敛性,定义3 （1）按行严格对角占优：（2）按行弱对角占优：上式,31,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,32,定理6(,对角占优定理)若矩阵,A,按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵,A,非奇异。,定理7,若矩阵,A,按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。,定理6(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优，或按,33,证明,若矩阵A按行严格对角占优，,或按行(或列)弱对角占优不可约，,则GS迭代收敛。假若不然，,(B,G,)1，即迭代矩阵B,G,的某一特征值,使得|1，并且,证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可,34,类似地，若矩阵A按行严格对角占优，,或按行(或列)弱对角占优不可约，,则Jacobi迭代收敛。假若不然，,(B,J,)1，即迭代矩阵B,J,的某一特征值,使得|1，并且,类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不,35,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,36,定理9,对于线性方程组,Ax,=,b,，若,A,为对称正定矩阵，则当0,2时，SOR迭代收敛.,证明,只需证明,1（其中为,L,的任一特征值）.,定理9 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0,37,定理10,对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，,或按行(或列)弱对角占优不可约；,则当0w1时，SOR迭代收敛。,定理10 对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格,38,数值分析第6章-解线性方程组的迭代法课件,39,