离散型随机变量与均值

,*,*,2.3.1,离散型随机变量的均值,高二数学 选修,2-3,复习回顾,1,、离散型随机变量的分布列,X,2,、离散型随机变量分布列的性质：,(1)p,i,0,，,i,1,，,2,，,；,(2)p,1,p,2,p,i,1,1,、某人射击,10,次，所得环数分别是：,1,，,1,，,1,，,1,，,2,，,2,，,2,，,3,，,3,，,4,；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,X,1,2,3,4,P,权数,加权平均,互动探究,2,、某商场要将单价分别为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,，,36,元,/kg,的,3,种糖果按,3,：,2,：,1,的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,X,18,24,36,P,把,3,种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：,离散型随机变量取值的平均值,数学期望,一般地，若离散型随机变量,X,的概率分布为：,则称,为随机变量,X,的均值或数学期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,设,Y,aX,b,，其中,a,，,b,为常数，则,Y,也是随机变量,（,1,）,Y,的分布列是什么？,（,2,）,E(Y)=,？,思考：,离散型随机变量取值的平均值,数学期望,线,性,性,质,离散型随机变量均值的,线性,性质,基础训练,1,、随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1),则,E()=,.,2,、随机变量,的分布列是,2.4,(2),若,=2+1,，则,E()=,.,5.8,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E()=7.5,则,a=,b,=,.,0.4,0.1,解,:X,的分布列为,所以,E(X),0,P(X,0),1,P(X,1),0,0.15,1,0.85,0.85,X,0,1,P,0.15,0.85,例,1.,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知某运动员罚球命中的概率为,0.85,，则他罚球,1,次的得分,X,的均值是多少？,例题讲解,一般地，如果随机变量,X,服从两点分布，,X,1,0,P,p,1,p,则,结论：,(),例,2.,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知某运动员罚球命中的概率为,0.7,，他连续罚球,3,次；,（,1,）求他得到的分数,X,的分布列；,（,2,）求,X,的期望。,X,0,1,2,3,P,解,：,(1)X,B,（,3,，,0.7,）,(2),(),(),例题讲解,求证：若,XB(n,，,p),，则,E(X)=np,E(X)=0C,n,0,p,0,q,n,+1C,n,1,p,1,q,n-1,+2C,n,2,p,2,q,n-2,+,+kC,n,k,p,k,q,n-k,+nC,n,n,p,n,q,0,P(X=k)=C,n,k,p,k,q,n-k,证明：,=np(C,n-1,0,p,0,q,n-1,+C,n-1,1,p,1,q,n-2,+,C,n-1,k-1,p,k-1,q,(n-1)-(k-1),+C,n-1,n-1,p,n-1,q,0,),X 0,1,k,n,P C,n,0,p,0,q,n,C,n,1,p,1,q,n-1,C,n,k,p,k,q,n-k,C,n,n,p,n,q,0,(k C,n,k,=n,C,n-1,k-1,),=np(p+q),n-1,=np,一般地，如果随机变量,X,服从二项分布，即,X,B,（,n,p,），则,结论：,基础训练,：,一个袋子里装有大小相同的,3,个红球和,2,个黄球，从中有放回地取,5,次，则取到红球次数的数学期望是,.,3,(),离散型随机变量均值的性质,(1),线性性质,若,XB(n,，,p),，则,E(X)=np,(2),两点分布的均值,(3),二项分布的均值,若,XB(1,，,p),，则,E(X)=p,例题讲解：,某学校要从,5,名男生和,2,名女生,中选出,2,人作为上海世博会志愿者，若用随机变量,表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望,E,()=_(,结果用最简分数表示,).,解：,的可能取值为,0,1,2,思考：,某商场的促销决策：,统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利,2,万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利,10,万元；如遇下雨可则损失,4,万元。,6,月,19,日气象预报端午节下雨的概率为,40%,，商场应选择哪种促销方式？,解,:,因为商场内的促销活动可获效益,2,万元,设商场外的促销活动可获效益,万元,则,的分布列,P,10,4,0.6,0.4,所以,E(,)=100.6,(-4)0.4=4.4,因为,4.42,所以商场应选择在商场外进行促销,.,1.,一次英语单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得,5,分，不作出选择或选错不得分，满分,100,分，学生甲选对任一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的,成绩,的期望。,巩固应用,解,：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是,和,，则,B(20,，,0.9),，,B(20,，,0.25),，,E(),20,0.9,18,，,E(),20,0.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是,5,和,5,。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5),5E(),5,18,90,，,E(5),5E(),5,5,25,1,、离散型随机变量均值的定义,X,P,一般地,若离散型随机变量,X,的概率分布为,则称 为随机变量,X,的,均值,或,数学期望,数学期望又简称为,期望,。,小 结,2,、离散型随机变量均值的性质,(1),随机变量均值的线性性质,若,XB(n,，,p),，则,E(X)=np,(2),服从两点分布的均值,(3),服从二项分布的均值,若,XB(1,，,p),，则,E(X)=p,3,、归纳求离散型随机变量均值的步骤,确定,所有可能,取值；,写出分布列；,求出均值,