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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（,2,）球与正三棱锥,O,P,A,B,C,D,H,M,O,H,P,A,B,C,D,M,正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上,球心在高,PH,上，即在锥体内部,球心在高,PH,的延长线上，即在锥体外部,球心与底面正,中心,H,重合,O,P,A,C,D,M,H,B,度量关系：,设正三棱锥底面边长为,b,，侧棱长为,a,，高为,h,，外接圆半径为,R,，,或在,Rt,AHO,中，,O,P,A,B,C,D,K,H,正三棱锥的内切球的球心在它的高上,(,与外接球的球心不一定重合）,有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用,Rt,PHDRt,PKO,，或放在筝形,OKDH,中进行。,OH=OK=r.,注意到球心,O,与棱,BC,中点,D,的连线平分二面角,P-BC-A,的平面角。,把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。,P,H,D,O,K,设正三棱锥底面边长为,b,，侧棱长为,a,，,高为,h,，斜高为,h,，,内切圆半径为,r,，,正三棱锥,P-ABC,的侧棱长为,1,，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为（）,A,解：,设,P,在底面,ABC,上的射影为,H,，则,H,为正,ABC,的中心,.,延长,PH,交球面于,M,，则,PM,为球的一直径，,PAM=90,由,Rt,中的射影定理得：,O,P,A,B,C,D,M,H,法二,由,AHPH,知：球心,O,在正三棱锥的高,PH,的延长线上。在,Rt,AHO,有：,题目：,题目：,正三棱锥,PABC,的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为,(),解析：,O,P,A,B,C,D,K,H,P,H,D,O,K,设正三棱锥侧棱长为,a,，底面边长为,b,，,三侧棱两两垂直，,各侧面都是全等的等腰直角三角形。,代入正三棱锥内切球半径公式：,得：,又 正三棱锥外接球半径,D,已知三棱锥,PABC,的四个顶点均在半径为,1,的球面上，且满足,同理，,PBPC,PCPA,即,PA,、,PB,、,PC,两两互相垂直,易知，该三棱锥三个侧面均为,Rt,，所以，其侧面积为,解析：,则三棱锥的侧面积的最大值为 （）,A,题目：,提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直,正三棱锥对棱互相垂直，即,SB,AC,又,SB,MN,且,AM,MN,所以，,SB,平面,SAC,。故，,SBSA,SBSC,进而，,SASC.,则三侧棱互相垂直。以,S,为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径,设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆的面积为（）,在正三棱锥,SABC,中，,M,、,N,分别是棱,SC,、,BC,的中点，且,MN,AM,，若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是（）,C,S,A,B,C,M,N,题目：,解析：,C,巩固练习,从,P,点出发三条射线,PA,，,PB,，,PC,两两成,60,，且分别与球,O,相切于,A,，,B,，,C,三点，若球的体积为 ，则,OP,的距离为（）,0,P,A,B,C,H,P,A,B,C,O,因,PA,与球,O,相切于点,A,，,OA,PA,同理，,OBPB,OCPC.,Rt,POA,Rt,POB,Rt,POC,PA=PB=PC,又,APB=BPC=CPA=60,PAB,、,PBC,、,PCA,、,ABC,为全等的,等边三角形，,P-ABC,为正四面体；,O-ABC,为正三棱锥。,解析：,先想象一下图形，画出示意图,由已知得球半径,R=1,，设,PA=a,，,OP=x,，设,P,在底面,ABC,上的射影为,H,（也是,O,在底面,ABC,上的射影），则,AH,PH.,在,Rt,PAO,中，有：,B,4,球与棱柱切接问题举例,正三棱柱的外接球,球心在上下底面中心连线的中点。,AOB,是等腰三角形，,OA=OB=R,O,A,B,C,A,1,B,1,C,1,M,设球半径为,R,，球心到底面,ABC,的距离为,d,，,ABC,的外接圆半径为,r.,设正三棱柱高,AA,1,=h,，底面边长为,a,。,正三棱柱的内切球,如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共,5,个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径,r,。,解,:,在 中,可得,由正弦定理,可得 外接圆半径,r=2,设此圆圆心为 ，,球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此,球的表面积为,.,（,2009,全国卷,理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积,等于,。,真题赏析,A,B,C,E,O,O,B,A,C,B,1,A,1,C,1,O,B,O,O,R,r,1,（,2009,江西卷理）正三棱柱 内接于半径为,2,的球，若,两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为,真题赏析,由球面距离公式：,解析：,设正,ABC,的外接圆半径为,r,球心,O,到平面,ABC,的距离为,8,一个正方体的棱长为,2,，将八个直径各为,1,的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为,棱长为,a,的正方体外接球的表面积为（）,B,八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为,1.,解析：,O,1,O,7,O,1,O,7,M,N,设过对角线,O,1,O,7,的对角面与球,O,1,、,O,7,分别交于,M,、,N,，如图。则所求为：,作业：,已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为，满,足,则三棱锥外接球的体积为,O,B,A,D,C,如图,设,A,、,B,、,C,、,D,为球,O,上四点，若,AB,、,AC,、,AD,两两互相垂直，且,，,则,AD,两点间的球面距离,.,提示：,由已知得：球心,O,为正三棱锥底面,ABC,的中心。如图，则有,PAM,为等腰直角三角形，,O,为斜边,PM,中点。,设底面正,边长为,a,，侧棱长为,b,，则,提示：,AOD,为等边三角形,.,半径为,1,的球面上有,A,、,B,、,C,三点，,B,、,C,间的球面距离是 ，,点,A,与,B,、,C,两点间的球面距离均为 ，球心为,O,。,求：,AOB,，,BOC,的大小；球心到截面,ABC,的距离；球的内接正方体的表面积与球面积之比,解,：,球面距离,OA=OB=OC=1,设球的内接正方体棱长为,a,，则,O,B,A,C,A,O,B,A,C,O,B,C,O,C,B,A,A,、,B,、,C,是半径为,1,的球面上三点，,B,、,C,间的球面距离是 ，点,A,与,B,、,C,两点间的球面距离均为 ，球心为,O,。,求：,AOB,，,BOC,的大小；球心到截面,ABC,的距离；球的内接正方体的表面积与球面积之比,解,：,球面距离,OA=OB=OC=1,设球的内接正方体棱长为,a,，则,法二：易知,AO,垂直于平面,BOC,。,有人抄错题了，把 和 交换了一下，那么，答案还一样吗？,A,C,O,A,B,O,B,O,C,A,B,C,则三棱柱的体积为 （）,在棱长为,a,的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线,该直线被球面截在球内的线段长为,(),一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为,D,C,A,O,H,三棱锥,P,ABC,的四个顶点都在半径为,5,的球面上，球心在三棱锥内，底面,ABC,所在的小圆面积为,16,，则该三棱锥的高的最大值为,8,.,底面,ABC,所在小圆半径为,O,H,P,C,B,A,祝同学们学习愉快！,谢谢！再见！,欢迎批评指导！,
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