中心力场的一般性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8,*,中心力场,中心力场的一般性质,11/20/2024,1,8,经典力学中的角动量,中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。,当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。,假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：,粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。,由于角动量与径矢和动量构成的平面垂直，角动量守恒带来的结果是，运动轨道必定是有确定法线方向的平面曲线，轨道平面的法线方向指向角动量的方向。,11/20/2024,2,8,量子力学中的角动量,在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力场中运动时角动量也是一个守恒量。,重复的指标表示对指标求和。,角动量算符只与角度有关，而势能只是径向坐标的函数,11/20/2024,3,8,球坐标系中的薛定谔方程,由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。,径向动能,离心势能,角动量的分量是守恒量，必有共同本征函数。,角动量的平方是守恒量，并且与各分量对易，,必有共同本征函数。,角动量的分量互不对易，不同分量的本征函数可能有相同的角动量和能量。因此，能级一般都有简并。,习惯上选,为守恒量完全集，,共同本征函数是：,11/20/2024,4,8,径向方程,做如下变换,在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在径向部分，它们由中心势的性质决定。,径向方程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与,m,无关，能级是,2,l,+1,重简并的。,11/20/2024,5,8,径向波函数的渐近行为,假定势能在原点附近的行为满足,这时，径向方程渐近地表示成,原点是方程的正则奇点，解必取以下形式,波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概率有限，因此负幂,l,+1 1.5,，这只当,l,=0,时才成立。,当,l,=0,时，将这个解代入径向方程，,这给出恒为零的无物理意义的解。,物理上可接受的解满足：,11/20/2024,6,8,两体问题,考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：,引入质心坐标和相对坐标：,系统的总质量,11/20/2024,7,8,两体系统的薛定谔方程,由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：,分离变量：,描写质心的自由运动，与系统的内部结构无关,描写粒子的相对运动，与单体方程形式相同,质心运动方程反映系统整体的外部形态，相对运动方程则反映系统的内部结构，是中心力场的主要问题。,如果其中一个粒子的质量很大，则在质心系中可以近似看作静止，相对运动方程近似描写较轻粒子的运动。,11/20/2024,8,8,