7-3弯曲应力及强度计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、梁的内力：剪力和弯矩,二、剪力和弯矩的计算方法：,复习：,1.,且,P,左上右下为正；反之为负。,2.,且,M,C,左顺右逆为正；反之为负。,三、剪力图和弯矩图的绘制,1.,内力方程法作,Q,、,M,图；,2.,微分法作,Q,、,M,图；,3.,叠加法作,M,图。,q,、,Q,图,、,M,图的变化规律：,上、上、上；下、下、下。,依据：,桥梁的受弯破坏问题,工程背景,1999,年,1,月,4,日，我国重庆市綦江县彩虹桥发生垮塌，造成：,40,人死亡；,14,人受伤；,直接经济损失,631,万元。,由工程实例可知：,工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。,研究弯曲强度问题,受弯构件内,应力的分布规律,危险部位极值应力的大小和方向,弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏具有十分重要的意义。,梁的横截面上的应力形式,Q,剪力,Q,M,弯矩,M,横,截面,梁的横截面上的弯曲内力,-,剪力,Q,和弯矩,M,剪应力,分布相关,正应力,分布相关,第四节 纯弯曲梁横截面上的正应力,x,P,P,A,B,C,D,a,a,x,Q,P,M,x,梁的横截面上,M0,，,Q,0,梁的横截面上,M,0,，,Q=0,P,横力弯曲,纯弯曲,一、纯弯曲梁的概念,Pa,推导纯弯曲梁的横截面上正应力,变形的几何关系,物理关系,静力关系,直接导出弯曲正应力,梁横截面上的弯矩,二、,弯曲正应力公式的推导,梁的变形现象,横向线,mm,，,nn,仍保持为直线，不过各线已互相倾斜，但仍与纵向线垂直。,纵向线,aa,，,bb,弯曲成弧线。靠近梁顶部凹面的纵向线缩短，而靠近底部凸面的纵向线伸长。纵向线间距离保持不变。,单向受力假定,平面假定,变形的基本假定,m,m,n,n,中性层,中性轴,z,y,横截面,对称轴,中性层和中性轴,（,1,）中性层,是对整个截面而言的，,中性轴是对某个截面而言的。,（,2,）中性轴,通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。,M,Z,:,横截面上的弯矩,y,:,所求应力点到中性轴的距离,I,Z,:,截面对中性轴的惯性矩,三、,弯曲正应力公式,上式表面,:,弯曲横截面上的正应力沿截面高度呈,线性,分布，中性轴上,为零,，,其最大值发生在截面的,上下边缘,处。,横力弯曲正应力,横力弯曲时的正应力，用纯弯曲正应力公式计算不会引起很大的误差，能够满足工程问题所需的精度。,等直梁的最大弯曲正应力公式,等直梁,max,M,max,所在横截面,离中性轴最远处,*梁的正应力强度计算,M,称为抗弯截面模量,设,y,max,为到中性轴的最远距离,0,0,对于高为,h,、,宽为,b,的矩形截面,对于直径为,d,的圆形截面,二、梁的正应力强度计算,1,、强度校核,若已知梁的截面形状和尺寸，材料及作用的荷载，可进行强度校核,2,、选择截面,若已知材料和荷载，可先算出,W,值，再确定截面的尺寸,3,、计算允许荷载,若已知材料和截面形状及尺寸，可先算出,M,值，再确定,P,值,一、梁的正应力强度条件：,例,1.,试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,200,100,竖放,横放,【,例,2】,一矩形截面的简支梁，梁上作用有均布荷载，已知：,l,=4m,，,b=140mm,，,h,=210mm,，,q,=2kN/m,，弯曲时木材的容许正应力 ，试校核该梁的强度。,l,q,h,b,解：作梁的弯矩图,ql,2,/8,所以该梁强度足够,例,3,：一矩形截面简支梁长,L=8 m,跨中作用集中荷载,P=360kN,，已知其矩形横截面的高宽比,h:b=3:2,，材料有许用应力,=240,MPa,，试确定该截面的,h,、,b,的值。,解：,由,M,图知,则：,b=200mm,取,h=300mm,小结：,一、,弯曲正应力公式,二、梁的正应力强度条件：,M,0,0,铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩,Iz,=40310,-7,m,4,，,铸铁抗拉强度,+,=50MPa,，,抗压强度,-,=125MPa,。,试按正应力强度条件校核梁的强度。,B,截面,C,截面,如果,T,截面倒置会如何,?,一、梁横截面上的剪应力,*梁的剪应力强度条件,Q,横截面上的剪力,I,Z,横截面对中性轴的惯性矩,S,*,Z,所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩,剪应力沿截面高度呈,抛物线,分布，在中性轴处最大，在上下边缘处为零。,最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零,最大剪应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零,b,所求应力点的截面宽度,二、常见梁横截面上的最大剪应力,（,1,）矩形截面梁,（,2,）工字形截面梁,（,3,）圆截面梁,h,1,_,腹板的高度,d,_,腹板的宽度,（,4,）空心圆截面梁,矩形截面简支梁，加载于梁中点,C,，,如图示。求,max,max,。,细长等值梁,三、梁的剪应力强度条件,或：,与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：,1,、强度校核；,2,、截面设计；,3,、确定梁的许可荷载。,但通常用于,校核,。,特殊的,：,1,、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；,2,、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；,3,、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。,需进行剪应力强度计算。,一、合理配置梁的荷载和支座,1,、将荷载分散,P,l,/2,A,B,l,/2,C,P,l,/4,A,B,l,/4,l,/4,l,/4,D,+,Pl,/4,M,图,+,Pl,/8,M,图,Pl,/8,*提高梁弯曲强度的措施,2,、合理设置支座位置,q,l,A,B,ql,2,/8,M,图,+,q,3l/5,A,B,l/5,l/5,M,图,+,-,-,ql,2,/40,ql,2,/50,ql,2,/50,二、合理选取截面形状,从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位,。,面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；,环形优于圆形。,同时应尽量使拉、压应力,同时,达到最大值。,s,max,s,min,二、合理选取截面形状,三、合理设计梁的外形（等强度梁）,梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为,变截面梁,。,各个横截面具有同样强度的梁称为,等强度梁,，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。,F,A,B,F,A,B,小结：,一、梁的应力：,(1),梁横截面上的正应力沿高度呈,线性,分布，在,中性轴上为零,，而在梁的,上下边缘处最大,。,（,2,）,梁横截面上的剪应力沿高度呈,抛物线,分布，在,中性轴上最大,，而在梁的,上下边缘处为零,。,1.,正应力强度条件：,2.,可解决三方面问题：,二、梁的强度计算,：,（,1,）,强度校核,；,（,2,）,设计截面尺寸,；,（,3,）,计算容许载荷。,