2.线性微分方程解的结构

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 二阶常系数线性微分方程,一、高阶线性微分方程的一般理论,二、二阶常系数齐线性微分方程的解,三、二阶常系数非齐线性微分方程的解,高阶线性微分方程的一般理论,n,阶线性方程的一般形式为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称 其次式为 第一式的相对应的齐方程。,注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，,所得结论可自然推广至,n,阶线性方程中。,复习,:,一阶线性方程,通解,:,非齐次方程特解,齐次方程通解,Y,这种解法叫常数变易法。,1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的构造,(1),叠加原理,:,则它们的线性组合,的解，则它们的线性组合,也是方程,(2),的解。,问题,:,例：设,y,1,为,(1),的解,则,y,2,=2,y,1,是 方程,(1),的解,但,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,不为方程,(1),的通解,.,又如,.,对于二阶常系数,线性齐次微分方程,简洁验证:,但这个解中只含有一个任意常数C,明显它不是所给方程的通解.,由定理知,都是它的解,.,也是它的解,.,在什么状况下，叠加所得可以成为方程(1)的通解？,为解决通解的判别问题,下面引入,函数的线性相关,与线性无关,概念,.,(2),线性无关、线性相关,定义,:,是定义在,区间,I,上,的,n,个函数,使得,则称,这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,假设存在不全为 0 的常数,在区间,I,上线性相关,存在不全,为,0,的,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为,0,则,必线性,相关,两个,函数在区间,I,上线性,相关与线性无关的,充要条件,:,(,不妨设,例,1,：,在,(,),上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,3.,如：,假设在某区间 I 上,则依据二次多项式至多只有两个零点,必需,全为,0,可见,在任何,区间,I,上都,线性,无关,.,由三角函数学问可知，这是不行能的，故,(一)二阶齐线性微分方程解的构造,的两个线性无关的特解，则,是方程,(1),的通解。,例如,推论：,是,n,阶线性齐次微分方程,的,n,个线性无关的特解,则方程的通解为：,下面要用到的几个重要的结论要记住,通过观看可得方程的一个特解：,又简洁看出：,由叠加原理，原方程的通解为,代入方程1中，得,怎么做？,关于,z,的一阶线性方程,该问题的解决归功于数学家刘维尔。,即,故有,两边积分，得,这是关于,z,的一阶线性方程,刘维尔公式,由刘维尔公式,故原方程的通解为,二)二阶非齐线性微分方程解的构造,的一个通解，则,证,将,代入方程2的左端得,是非齐次方程的解,又,y,中含有,两个独立任意常数,因而 是通解,.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,推广,:,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,例,1,：,方程,有特解,对应齐次方程,有通解：,因此该方程的通解为,是其对应的齐方程,的一个特解。,则该方程的通解是,().,例,4.,设线性无关函数,都是二阶非齐次线性方程,的解,是任意常数,提示,:,都是对应齐次方程的解,且二者线性无关 (反证法可证)。,由非齐线性微分方程解的构造定理可得D是正确的。,例,5.,设,是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用,表示二阶线性非齐次方程的通解,.,都是对应齐次方程的解,且二者线性无关,.,(,反证法可证,),。,例,6.,微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解,.,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为：,有三,解,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,对应齐次方程的通解,原方程的通解,例8.y=x 及 y=sinx 为某二阶线性齐次,方程的解,求该方程.,解,解,(1),由题设可得：,解此方程组，得,(2),原方程为,由解的构造定理得方程的通解为,(,非齐次方程之解的叠加原理,),(,非齐次方程之解的叠加原理,),下面介绍如何求方程2的特解？,的通解，则,是方程,(2),的通解。,1,、,常数变易法,复习,:,常数变易法,:,对应齐次方程的通解,:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程,:,令,于是,将以上结果代入方程,:,得,故,的系数行列式,是对应,齐次方程的解,积分得,:,代入 即得非齐次方程的通解,:,于是得,说明,:,将的解设为,只有一个必需满足的条件即,因此必需再附加,一个条件,方程的引入是为了简化计算,.,方程,情形,2.,仅知,的齐次方程的一个非零特解,代入,化简得,设其通解为,积分得,(,一阶线性方程,),由此得原方程的通解,:,常数变易法,则有,这是以下推导,的前提。,1,、,常数变易法,于是,对上式两边关于,x,求导，得,这两部分为零。,即,联立,(3),、,(4),构成方程组,解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到,在这一节中所讲述的理论均可推广到,n,阶线性微分方程中去。,解：该方程所对应的齐方程为,它就是前面刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为,由常数变易法，解方程组,两边积分，取积分常数为零，得,两边积分，取积分常数为零，得,故原方程有一特解,从而原方程的通解为：,解：先将方程变形为,所以，对应的齐次的通解为,设原方程的解为,由常数变易法知，应有,解之得,所以,原方程的通解为,例,3.,的通解为,的通解,.,解,:,将所给方程化为,:,齐次方程,求,利用,建立方程组,:,故所求通解为,积分得,例,4.,的通解,.,解,:,对应齐次方程为,由观看可知它有特解:,代入非齐次方程后化简得,练 习 题,四、小结,主要内容,2、二阶线性微分方程解的构造定理,1,、函数的线性相关与线性无关；,练习题答案,