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,2,4,.,2,点和圆、直线和圆的位置关系/,2,4,.,2,点和圆、直线和圆的位置关系/,2,4.2,点,和圆、直线和,圆的,位置关系,24.2.1,点和圆的位置关系,人教版,数学,九,年级 上册,1,24.2 点和圆、直线和圆的人教版 数学 九年级 上册1,我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉,.,如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？,解决这个问题要研究,点和圆的位置关系,导入新知,我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉,3.,了解三角形的外接圆和三角形外心的概念,.,1.,理解并掌握,点和圆的三种位置关系,.,2.,理解,不在同一直线上的三个点确定一个圆,并掌握作图方法,.,4.,了解反证法的证明思想,.,素养目标,3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.1.理解并掌握,问题,1,：,观察,下图中,点和圆的位置关系有哪几种？,.,o,.,C,.,.,.,.,B,.,.,A,.,点与圆的位置关系有三种,：,点在,圆内,，,点在,圆上,，,点在,圆外,.,探究新知,点和圆的位置关系,知识点,1,问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C.,问题,2,：,设点到圆心的距离为,d,圆的半径为,r,，量一量在,点和圆三种不同位置关系时，,d,与,r,有怎样的数量关系？,点,P,在,O,内,点,P,在,O,上,点,P,在,O,外,d,d,d,r,P,d,P,r,d,P,r,d,r,r,=,r,反过来，由,d,与,r,的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？,探究新知,问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三,r,P,d,P,r,d,P,r,d,点,P,在,O,内,dr,数形结合：,位置关系,数量关系,探究新知,点和圆的位置关系,rPdPrd Prd点P在O内 dr 点P在,例,1,如,图，已知矩形,ABCD,的边,AB,=3,，,AD,=4.,（,1,）以,A,为圆心，,4,为半径作,A,，则点,B,、,C,、,D,与,A,的位置关系如何？,解：,AD,=4=,r,，故,D,点在,A,上,AB=,3,r,，故,C,点在,A,外,判定点和圆的位置关系,素养考点,1,探究新知,例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.,（,2,）若以,A,点为圆心作,A,，使,B,、,C,、,D,三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求,A,的半径,r,的取值范围？（直接写出答案）,探究新知,（2）若以A点为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆,1.,O,的半径为10cm，,A、B、C,三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点,A、B、C,与,O,的位置关系是：点,A,在,；点,B,在,；点,C,在,.,圆内,圆上,圆外,2.,圆心为,O,的两个同心圆，半径分别为,1,和,2,，若,OP,=,，则点,P,在（）,A.,大圆内,B.,小圆内,C.,小圆外,D.,大圆内，小圆外,o,D,巩固练习,1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分,问题,1,如何,过一个点,A,作一个圆？过点,A,可以作多少个圆？,以不与,A,点重合的任意一点为圆心，以这个点到,A,点的距离为半径画圆即可；,可作无数个圆,.,A,探究新知,过不共线三点作圆,知识点,2,问题1 如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？,问题,2,如何,过两点,A,、,B,作一个圆？过两点可以作多少个圆？,A,B,作线段,AB,的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点,A,或,B,的距离为半径画圆即可,;,可作无数个圆,.,探究新知,问题2 如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？,问题,3,：,过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？,A,B,C,D,E,G,F,o,经过,B,C,两点的圆的圆心在线段,B,C,的垂直平分线上,.,经过,A,B,C,三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点,O,的位置,.,经过,A,B,两点的圆的圆心在线段,AB,的垂直平分线上,.,探究新知,问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEG,有且只有,位置关系,定理：,不在同一直线上的三个点,确定一个,圆,.,A,B,C,D,E,G,F,o,探究新知,有且只有位置关系定理：ABCDEGFo探究新知,例,2,已知：不在同一直线上的三点,A,、,B,、,C.,求作：,O,使它经过点,A,、,B,、,C.,作法：,1.,连结,AB,，,作线段,AB,的垂直平分线,MN,；,2.,连接,AC,，作线段,AC,的垂直平分线,EF,，交,MN,于点,O,；,3.,以,O,为圆心，,OB,为半径作,圆,.,所以,O,就是所求作的圆,.,O,N,M,F,E,A,B,C,利用尺规法作圆,素养考点,2,探究新知,例2 已知：不在同一直线上的三点A、B、C.作法：1.,问题,4:,现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？,方法,:,1.,在圆弧上任取三点,A,、,B,、,C,;,2.,作线段,AB,、,BC,的垂直平分线,其交点,O,即为圆心,;,3.,以点,O,为圆心，,OC,长为半径作圆,.,O,即为所求,.,A,B,C,O,探究新知,问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方,3.,如图，,CD,所在的直线垂直平分线段,AB,，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心,D,A,B,C,O,A,、,B,两点在圆上，所以圆心必与,A,、,B,两点的距离相等，,又,和,一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，,圆心在,CD,所在的直线上,，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心,.,巩固练习,解,:,3.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工,已知,ABC,，用直尺与圆规作出过,A,、,B,、,C,三点的圆,.,A,B,C,O,探究新知,三角形的外接圆及外心,知识点,3,已知ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.AB,外接圆,经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆,.,O,叫做,ABC,的,_,，,ABC,叫做,O,的,_.,到三角形三个顶点的距离相等,.,三角形的外心：,定义,：,外接圆,内接三角形,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，,叫做三角形的,外心,.,作图,：,三角形三边中垂线的交点,.,性质,：,O,A,B,C,要,点,归,纳,探究新知,外接圆到三角形三个顶点的距离相等.三角形的外心：外接圆内,【,练一练,】,判断下列说法是否正确,.,(1),任意的一个三角形一定有一个外接圆,.(),(2),任意一个圆有且只有一个内接三角形,.(),(3),经过三点一定可以确定一个圆,.(),(4),三角形的外心到三角形各顶点的距离相等,.(),探究新知,【练一练】判断下列说法是否正确.探究新知,画一画：,分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.,锐角三角形的外心位于三角形,内,直角三角形的外心位于直角三角形,斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形,外,.,A,B,C,O,A,B,C,C,A,B,O,O,探究新知,画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出,例,3,如图,，将,AOB,置于平面直角坐标系中，,O,为原点，,ABO,60,，若,AOB,的外接圆与,y,轴交于点,D,(0,，,3),(1),求,DAO,的度数；,(2),求点,A,的坐标和,AOB,外接圆的面积,解：,(1),ADO,ABO,60,，,DOA,90,，,DAO,30,；,圆与平面直角坐标系相结合的问题,探究新知,素养考点,3,例3 如图，将AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，A,(2),求点,A,的坐标和,AOB,外接圆的面积,点,D,的坐标是,(0,，,3),，,OD,3.,在,Rt,AOD,中，,DOA,90,，,AD,为直径,.,又,DAO,=30,，,AD,2,OD,6,，,OA,因此,圆的半径为,3,AOB,外接圆的面积是,9,.,解题妙招,：,图形中求三角形外接圆的面积时，关键是,确定外接圆的直径,(,或半径,),长度,探究新知,点,A,的坐标,(,，,0),(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积点D的坐标是(0,4.,如图,已知直角坐标系中,A,(0,4),B,(4,4),C,(6,2).,(1),写出经过,A,B,C,三点的圆弧所在圆的圆心,M,的坐标,.,(2),判断点,D,(5,-2),和圆,M,的位置关系,.,巩固练习,解：,(1),在方格纸中，线段,AB,和,BC,的垂直,平分线相交于点,(2,，,0),，,所以圆心,M,的坐,标为,(2,，,0).,(2),圆的半径,线段,DM,所以点,D,在圆,M,内,.,4.如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),例,4,如图，在,ABC,中，,O,是它的外心，,BC,24cm,，,O,到,BC,的距离是,5cm,，求,ABC,的外接圆的半径,解：,连接,OB,，过点,O,作,OD,BC.,D,则,OD,5cm,，,在,Rt,OBD,中,即,ABC,的外接圆的半径为,13cm.,考查三角形的外接圆的有关知识,探究新知,素养考点,4,例4 如图，在ABC中，O是它的外心，BC24cm，O,5.,在Rt,ABC,中,C,=90,AC,=6 cm,BC,=8cm,则它的外心与顶点,C,的距离为,(),A.5 cm,B.6 cm,C.7 cm,D.8,cm,巩固练习,A,5.在RtABC中,C=90,AC=6 cm,巩固练,思考：,经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？,l,1,l,2,A,B,C,P,探究新知,反证法,知识点,4,如图，假设过同一条直线,l,上三点,A,、,B,、,C,可以作一个圆，设这个圆的圆心为,P,.,那么点,P,既在线段,AB,的垂直平分线,l,1,上，又在线段,BC,的垂直平分线,l,2,上，即点,P,为,l,1,与,l,2,的交点,.,而,l,1,l,，,l,2,l,这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,.,所以过同一条直线上的三点不能作圆,思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABC,反证法的定义,先,假设,命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾,(,常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾,),，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做,反证法,反证法的一般步骤,假设,命题的,结论不成立,（提出与结论相反的假设）,;,从这个假设出发，经过推理，,得出矛盾,;,由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的,结论正确,.,探究新知,反证法的定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理,例,5,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60,.,已知：,ABC,求证：,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60.,证明：,假设,，,则,。,因此,这与,矛盾假设不成立,因此,ABC,中没有一个内角小于或等于,60,A,60,B,60,C,60,三角形的内角和为,180,度,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60.,A,+,B,+,C,180,反证法的应用,探究新知,素养考点,5,例5 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60.,6.,利用反证法证明,“,在直角三角形中，至少有一个锐角不大于,45,”,时，应先假设（,）,A.,有一个锐角小于,45,B.,每一个锐角都小于,45,C.,有一个锐角大于,45,D,.,每一锐角都大于,45,巩固练习,D,6.利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于4,1,.,已知,ABC,的三边,a,，,b,，,c,，满足,a,+,b,2,+|,c,6|+28,=,4,+10,b,，则,ABC,的外接圆半径=,巩固练习,连接中考,2,.,如,图，,O,是,ABC,的外接圆
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