运输问题的求解方法

4.1 线性规划及其单纯形求解方法,1.线性规划的数学模型,线性规划之实例,线性规划的数学模型,*,第3节 运输问题的求解方法表上作业法,表上作业法,产销不平衡的运输问题的求解方法,1,一、产销平衡表与单位运价表,运输问题还可用,产销平衡表与单位运价表进行描述。,假设某种物资有,m,个生产地点,A,i,（,i=1,，,2,，,m,），其产量（供应量）分别为,a,i,（,i=1,，,2,，,m,），有,n,个销地,B,j,（,j,=1,，,2,，,n,），其销量（需求量）分别为,b,j,（,j,=1,，,2,，,n,）。从,A,i,到,B,j,运输单位物资的运价（单价）为,C,ij,。将这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价表,5.3.1,。,2,表5.3.1 产销平衡表与单位运价表,3,运输这一类特殊问题可用,更加简便的求解方法表上作业法求解，实质仍是单纯形法，步骤如下：,（1）确定初始调运方案，即找出初始基可行解,在产销平衡表上给出,m,+,n,-1个数字格,。,二、表上作业法,4,（2）求非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转入下一步。,（3）确定换入变量和换出变量，找出新的调运方案（新的基可行解），即在表上用闭回路法进行调整。,(4）重复（1）（2），直到求出最优解为止。,5,（一）,确定初始可行基的方法,最小元素法,从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后考虑运价次小的，一直到给出初始基可行解为止。,伏格尔法,采用最小元素法可能造成其他处的更多浪费，伏格尔法考虑最小运费与次小运费之间的差额，差额越大，就按次小运费调运。,6,（二）,最优解的判别,计算非基变量（空格）的检验数,当所有的检验数 时,，,为最优解。,求空格检验数的方法有：,闭回路法,以某一空格为起点找一条闭回路，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格转,90,0,后，继续前进，直到回到起始空格为止。,7,闭回路如图5,.3.1,的（,a,）、（,b,）、（,c,）等所示。,从每一个空格出发一定存在并且可以找到唯一的闭回路。,因为，,m,+,n,-,1个数字格（基变量）对应的系数向量是一个基，任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线性组合。,图5.3.1 闭回路示意图,8,举例说明：可表示为,而这些向量构成了闭回路见,图,9,位势法,一种较为简便的求检验数的方法。,设 是对应运输问题的,m,+,n,个约束条件的对偶变量。,B,是含有一个人工变量,X,a,的初始基矩阵。,X,a,在目标函数中的系数,C,a,，,由线性规划的对偶理论可知,而每一个决策变量,X,ij,的系数向量 ，所以,由单纯形法可知，所有基变量的检验数等于,0,，即,10,例1：假设某种物资共有3个产地，其日产量分别是：,A,1,为7 t，,A,2,为4 t，,A,3,为9 t；该种物资的4个销售地，其日销量分别：,B,1,为3 t，,B,2,为6 t，,B,3,为5 t，,B,4,为6 t；各产地到销售地的单位物资的运价如表5.3.2所示。在满足各销售点需要量的前提下，如何调运该种物资，才能使总运费达到最小？,销地,产地,B,1,B,2,B,3,B,4,A,1,A,2,A,3,3,1,7,11,9,4,3,2,10,10,8,5,表5.3.2,下面用具体例子说明,表上作业法的计算步骤。,11,解：首先列出这一问题的产销平衡表，见表,5.3.3,。,表,5.3.3,某物资运输的产销平衡表,12,用最小元素法求解,：,第1步，从表5.3.4中找出最小运价为1，表示应先将,A,2,的产品供应,B,1,。在表5.3.3中（,A,2,B,1,）的交叉格处填上3，得表5.3.4。将表5.3.4中的,B,1,列运价划去，得表5.3.5。,表5.3.4,13,表5.3.5,第2步，在表5.3.5未划去的元素中再找出最小运价为2，确定,A,2,多余的1 t物资供应,B,3,。得表5.3.6。将表5.3.5的行运价划去，得表5.3.7。,14,表5.3.6,表5.3.7,15,第3步,，按照上述方法,直到单位运价表上的所有元素被划去为止。最后在产销平衡表上得到一个调运方案，即初始基可行解，见表5.3.8。,表5.3.8,16,伏格尔法的步骤是：,第1步：在表5.3.2中分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表5.3.9。,表5.3.9,17,第2步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。在表5.3.9中，可确定,A,3,的产品应首先供应,B,2,，得表5.3.10。将单位运价表中的列的数字划去，得表5.3.11。,18,表5.3.10,表5.3.11,19,第3步,对表5.3.11中余下的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，重复第1、第2步，直到给出初始基可行解为止。初始基可行解列于表5.3.12。,表5.3.12,伏格尔法给出的初始基可行解更接近最优解。本例中用伏格尔法给出的初始基可行解就是最优解。,20,用闭回路法判别检验,：,闭回路法计算检验数的经济解释为,在已给出初始基可行解的表中，可从任一空格出发，如（,A,1,B,1,），若让,A,1,的产品调运1 t给,B,1,，为了保持产销平衡，就要依次进行调整,就构成了以（,A,1,B,1,）空格为起点，其他为数字格的闭回路，如表5.3.13中的虚线所示。闭回路各顶点所在格的右上角数字是单位运价。,21,表5.3.13,调整的方案使运费增加,22,将“,1,”填（,A,1,B,1,）格中，这就是检验数。按上述办法，可找出所有空格的检验数，见表,5.3.14,。当检验数还有负数时，需要对原方案进行改造。,表5.3.14,23,用位势法检验:,第1步,按最小元素法给出表5.3.8的初始基可行解，作表5.3.15。在对应表5.3.8的数字格处填入单位运价。,销地,产地,B,1,B,2,B,3,B,4,A,1,A,2,A,3,1,4,3,2,10,5,表5.3.15,24,第2步,在上表增加一行一列，在列中填入 ，在行中填入 ，得表5.3.16,。,表5.3.16,25,首先令,u,1,=0,然后按 可确定所有和的数值。,第3步,按 计算所有空格的检验数，特设计计算表,5.3.17,。,表5.3.17,26,改进的方法闭回路调整法:,在表,5.3.17,中，(,A,2,B,4,)为调入格，以此格为出发点，作一闭回路,得表5.3.18。,表5.3.18,27,格的调入量 是选择闭回路上具有（,-,1,）的数字格中的最小者即 ，然后，按闭回路上的正、负号，加、减此值得到调整方案，如表5.3.19所示。再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，得表5.3.20。在表5.3.20中，因为所有检验数都非负，故得最优解，这时，得到最小运费为85（元）。,28,表5.3.19,表5.3.20,29,三、产销不平衡的运输问题的求解方法,前面求解运输问题的表上作业法，是以产销平衡为前提的，即,实际情况需要把产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。,当产大于销,运输问题的数学模型为求使,30,且满足,考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。设 是产地,A,i,的储存量，于是有,31,当 时，令,当 时，令,产销不平衡的运输问题就可以改写成：求,使,32,且满足,此时，,该问题变为产销平衡问题,，可用,表上作业法对其求解。,33,当销大于产时，只要在产销平衡表中增加一个假想的产地，让该地的产量为,并在单位运价表中令从假想的产地到各消费地的运价为 ，就可以将其转化为一个产销平衡的运输问题。然后可以用表上作业法对其求解,。,34,