插值拟合课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,例：在,1-12,的,11,小时内，每隔,1,小时测量一次温度，测得的温度依次为：,5,，,8,，,9,，,15,，,25,，,29,，,31,，,30,，,22,，,25,，,27,，,24,。试估计每隔,1/10,小时的温度值。,第1页/共48页,例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，,1,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一、,插值的定义,二、插值的方法,三、用,Matlab,解插值问题,一维插值,第2页/共48页,拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值一、插值的定义二、插值的,2,一维插值的定义,已知,n+1,个节点,其中,互不相同，不妨设,求任一插值点,处的插值,第3页/共48页,一维插值的定义已知 n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插,3,构造一个,(,相对简单的,),函数,通过全部节点,即,再用,计算插值，即,第4页/共48页,构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值，,4,第5页/共48页,第5页/共48页,5,称为,拉格朗日插值基函数,。,已知函数,f,(,x,),在,n,+1,个点,x,0,x,1,x,n,处的函数值为,y,0,y,1,y,n,。求一,n,次多项式函数,P,n,(,x,),，使其满足：,P,n,(,x,i,)=,y,i,i,=0,1,n,.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,:,其中,L,i,(,x,),为,n,次多项式：,拉格朗日,(Lagrange),插值,第6页/共48页,称为拉格朗日插值基函数。已知函数f(x)在n,6,拉格朗日,(Lagrange),插值,特别地,:,两点一次,(,线性,),插值多项式,:,三点二次,(,抛物,),插值多项式,:,第7页/共48页,拉格朗日(Lagrange)插值特别地:两点一次(线性)插值,7,For example,x,1,4,9,16,1,2,3,4,取最接近,x=5,的点，,x,0,=1,，,x,1,=4,，,x,2,=9,为插值节点，运用插值公式,L(5,),=2.27.,第8页/共48页,For examplex149161234取最接近x=5的点,8,For example,x,75,76,77,78,2.76,2.83,2.90,2.97,取最接近,x=5,的点，,x,0,=1,，,x,1,=4,，,x,2,=9,为插值节点，运用插值公式,L(5,),=2.27.,第9页/共48页,For examplex757677782.762.832.,9,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数,n,+1,，其中,n,为插值多项式的次数，当,n,分别取,2,4,6,8,10,时，绘出插值结果图形。,例,第10页/共48页,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数,10,第11页/共48页,第11页/共48页,11,分段线性插值,计算量与,n,无关,;,n,越大，误差越小,.,x,j,x,j-1,x,j+1,x,0,x,n,x,o,y,第12页/共48页,分段线性插值计算量与n无关;xjxj-1xj+1,12,x,y,机翼下轮廓线,例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求,x,每改变,0.1,时的,y,值。,第13页/共48页,xy机翼下轮廓线例 已知飞机下轮廓线上数,13,比分段线性插值更光滑。,x,y,x,i-1,x,i,a,b,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数,(,曲线,),的,k,阶导数存在且连续，则称,该曲线具有,k,阶光滑性,。,光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,第14页/共48页,比分段线性插值更光滑。xyxi-1,14,三次样条插值,第15页/共48页,三次样条插值第15页/共48页,15,第16页/共48页,第16页/共48页,16,第17页/共48页,第17页/共48页,17,用,MATLAB,作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x,，,y,，,xi,，,method),插值方法,被插值点,插值节点,xi,处的插值结果,nearest,：,最邻近插值,linear,：,线性插值,；,spline,：,三次样条插值,；,cubic,：,立方插值。,缺省时：分段线性插值,。,注意,：所有的插值方法都要求,x,是单调的，并且,x,i,不能够超过,x,的范围。,第18页/共48页,用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(,18,2.,拟合的基本原理,1.,拟合问题引例,拟 合,第19页/共48页,2.拟合的基本原理1.拟合问题引例拟 合第19页/共4,19,拟 合 问 题 引 例,1,温度,t(,0,C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7,电阻,R(,)765 826 873 942 1032,已知热敏电阻数据：,求60,0,C时的电阻R。,设,R=at+b,a,b,为待定系数,第20页/共48页,拟 合 问 题 引 例 1温度t(0C)20.5,20,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。,实例：,下面数据是某次实验所得，希望得到,X,和,f,之间的关系？,问题,：,给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面,解决方案,：,若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是,数据拟合,，又称曲线拟合或曲面拟合。,若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是,插值问题,；,拟合与插值的关系,第21页/共48页,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为,21,线性插值、样条插值与曲线拟合结果：,第22页/共48页,线性插值、样条插值与曲线拟合结果：第22页/共48页,22,曲线拟合问题最常用的解法,线性最小二乘法的基本思路,第一步,:,先选定一组函数,r,1,(x),r,2,(x),r,m,(x),mn,令,f(x)=a,1,r,1,(x)+a,2,r,2,(x)+a,m,r,m,(x),（,1,）,其中,a,1,a,2,a,m,为待定系数。,第二步,:确定a,1,a,2,a,m,的准则（最小二乘准则）：,使n个点（x,i,y,i,)与曲线 y=f(x)的距离,i,的平方和最小,。,记,问题归结为，求,a,1,a,2,a,m,使,J(a,1,a,2,a,m,),最小。,第23页/共48页,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路第一步:,23,线性最小二乘法的求解：预备知识,超定方程组,：方程个数大于未知量个数的方程组,即,Ra=y,其中,超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。,如果有向量,a,使得 达到最小，,则称,a,为上述,超定方程的最小二乘解,。,第24页/共48页,线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组：方程个数大于未知量,24,定理,：,当R,T,R可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组,R,T,Ra=R,T,y,的解：a=(R,T,R),-1,R,T,y,所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。,其中,Ra=y,（,3,）,线性最小二乘法的求解,第25页/共48页,定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解,25,线性最小二乘拟合 中函数r,1,(x),r,m,(x)的选取,1.,通过机理分析建立数学模型来确定,f(x),；,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,f=a,1,+a,2,x,f=a,1,+a,2,x+a,3,x,2,f=a,1,+a,2,x+a,3,x,2,f=a,1,+a,2,/x,f=ae,bx,f=ae,-bx,2.将数据(x,i,y,i,)i=1,n 作图，通过直观判断确定 f(x)：,第26页/共48页,线性最小二乘拟合 中函数r1(x),rm(x)的选取,26,1.,线性最小二乘拟合,2.,非线性最小二乘拟合,二、用,MATLAB,解拟合问题,第27页/共48页,1.线性最小二乘拟合2.非线性最小二乘拟合二、用MATLAB,27,1),作多项式,f(x)=a,1,x,m,+a,m,x+a,m+1,拟合,可利用已有程序,:,a=polyfit(x,y,m),2),对超定方程组,可得最小二乘意义下的解。,，用,3),多项式在,x,处的值,y,可用以下命令计算：,y=polyval,（,a,，,x,）,输出拟合多项式系数,a=,a,1,a,m,a,m+1,(,数组,),）,输入同长度,的数组,X,，,Y,拟合多项,式次数,1.,用,MATLAB,作线性最小二乘拟合,第28页/共48页,1)作多项式f(x)=a1xm+amx+am+1拟合,28,即要求出二次多项式,:,中 的,使得,:,例 对下面一组数据作二次多项式拟合,第29页/共48页,即要求出二次多项式:中 的使得:例 对下面一组数据作二次多,29,1,）,输入以下命令,：,x=0:0.1:1;,y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;,R=(x.2)x ones(11,1),；,A=Ry,解法,1,用解超定方程的方法,2,）,计算结果,：,=-9.8108 20.1293 -0.0317,第30页/共48页,1）输入以下命令：解法1用解超定方程的方法2）计算结果：,30,1,）,输入以下命令：,x=0:0.1:1;,y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;,A=polyfit(x,y,2),z=polyval(A,x);,plot(x,y,k+,x,z,r)%,作出数据点和拟合曲线的图形,2,）,计算结果,：,=-9.8108 20.1293 -0.0317,解法,2,用多项式拟合的命令,第31页/共48页,1）输入以下命令：2）计算结果：=-9.810,31,建模案例,：黄河小浪底调水调沙问题,2004,年,6,月至,7,月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为,20,多天，小浪底从,6,月,19,日开始预泄放水，至到,7,月,13,日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为,75.5,亿立方米，在这之前，小浪底共积泥沙达,14.15,亿吨。,第32页/共48页,建模案例：黄河小浪底调水调沙问题 2004年6月至7,32,建模案例,：黄河小浪底调水调沙问题,这次调水调沙试验一个重要的目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从,6,月,27,日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于,29,日先后到达小浪底，,7,月,3,日达到最大流量,2700,，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表,7-1,是由小浪底观测站从,6,月,29,日到,7,月,10,日检测到的试验数据。,第33页/共48页,建模案例：黄河小浪底调水调沙问题 这次调水调沙试验一个重要的,33,第34页/共48页,第34页/共48页,34,1.,模型假设,1),水流量和排沙量都是连续的，不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。,2),时间是连续变化的，所取时间点依次为,1,2,3,，,24,单位时间为,12h,。,第35页/共48页,1.模型假设1)水流量和排沙量都是连续的，不考虑上游泄,35,2.,模型建立与求解,问题一：给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法,根据试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现，考