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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,三点共线与距离最值,三点共线与距离最值,1,问题,1,相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,如图，牧马人从,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,A,B,l,问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名,2,同学们想起了我们课本上哪道题呢，你能把它找出来吗？,本题来源七下第五章生活中的轴对称，,123,页,饮水思源：,同学们想起了我们课本上哪道题呢，你能把它找出来吗？本题来源,3,l,A,B,C,C,转化为数学问题,当点,C,在直线,l,的什么位置时，,AC,与,BC,的和最小？,分析：,A,B,l,lABCC转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，A,4,想一想：本题的难点在哪儿呢？如果将点,A,、,B,两,地在河流的异岸你知道怎么做吗？,A,将军,B,营地,C,饮马点,你有何感悟？,能否将原题两点转化为异岸呢？,想一想：本题的难点在哪儿呢？如果将点A、B两地在河流的异,5,l,A,C,B,如图，作点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,当点,C,在直线,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,在连接,AB,两点的线中，线段,AB,最短.因此，线段,AB,与直线,l,的交点,C,的位,置，使,A,、B,、,C,三点共线,，点,C,即,为所求.,回归原题：,B,lACB 如图，作点B关于直线 l 的对称点B.,6,在直线,l,上任取另一点,C,，,连接,AC,、,BC,、,B,C,直线,l,是点,B,、,B,的对称轴，,点,C,、,C,在对称轴上，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,在,AB,C,中，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,B,C,，,即,AC,+,BC,最小,l,A,B,C,B,C,证明：如图,.,在直线 l 上任取另一点C，lABCBC证明：如图.,7,小试牛刀：,1,、,如图，,AD,是等边,ABC,的,BC,边上的高，,AB,2,，,M,是,AD,上的动点，,E,是,AC,边的中点，则,EM,CM,的最小值为,_,A,B,C,E,M,D,小试牛刀：1、如图，AD是等边ABC的BC边上的高，AB,8,2,、,如图，在平面直角坐标系中，点,A(,2,，,4),，,B(4,，,2),，在,x,轴上取一点,P,，使点,P,到点,A,和点,B,的距离之和最小，则点,P,的坐标是,。,(2,0),2、如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(4，2),9,问题,1 归纳,l,A,B,C,l,A,B,C,B,l,A,B,C,抽象为数学问题,用旧知解决新知,联想旧知,解决实,际问题,A,B,l,同侧求和最小时利用轴对称将其中一点转化到异侧，形成,三点共线,问题1 归纳lABClABCBlABC抽象为数学问题用旧,10,拓展延伸：如图，你能在直线,l,上找一点,P,使,AP-BP,最长吗？,P,连接,A,、,B,两点并延长交直线,l,于点,P,点,P,是所求的点吗？,拓展延伸：如图，你能在直线l上找一点P使AP-BP,11,证明：在直线,l,上任取另一点,P,，连接,A,P,、,B,P,思考：,A,、,B,两点位于直线,l,异侧的话怎么办呢？,由三角形两边之差小于第三边得,A,P,-,B,P,AB,，,A,P,-,B,P,=AB,P,点即为所求,证明：在直线 l 上任取另一点P，连接AP、BP,12,B,P,提示：利用轴对称把,AB,转化为同侧。,l,如图，作点,B,关于直线,l,的对称点,B,连接,A,B,并延长交直线,l,于点,P,使,A,、,B,、,P,三点共线,，点,P,即为所求。,BP 提示：利用轴对称把AB转化为同侧。l,13,小试牛刀：,平面直角坐标系中，点,A,（,1,3,），点,B(3,，,1),在,x,轴上找点,P,，使,PA-PB,最大，点,P,的坐标,为,_,A,B,B,P,(4,0),小试牛刀：平面直角坐标系中，点A（1,3），点B(3，1,14,问题归纳,：,异侧转化为同侧,连接并延长，交点即为所求,问题归纳：异侧转化为同侧连接并延长，交点即为所求,15,问,题,3,（造桥选址问题）如图，,A,和,B,两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,问题3 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河,16,饮水思源：,本题来源于八年级下册第三章图形的平移与旋转复习题第,90,页,18,题。,思考：,你能把这个问题转,化为,数学问题吗？,饮水思源：本题来源于八年级下册第三章图形的平移与旋转复习题第,17,如图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM,+,MN,+,BN,，那么折线,AMNB,在,什么情况下最短呢？,a,B,A,b,M,N,由于河宽是固定的，因此当,AM,+,NB,最小时，,AM,+,MN,+,NB,最小.,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，,18,分析：,a,A,B,如图，如果将点,A,沿与河岸垂直的方向平移到点,A,，使,AA,等于河宽，则,AA,=,MN,，,AM,=,A,N,，问题转化为：当点,N,在直,线,b,的,什么位置时，,A,N,+,NB,最小？,AN,、,BN,共线即可,b,N,M,A,分析：aAB 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方,19,问题,2 归纳,抽象为数学问题,将点,A,平移何的宽度,联想旧知,解决实,际问题,l,A,B,C,问题2 归纳抽象为数学问题将点A平移何的宽度联想旧知解决实,20,1,、（,2018,天津中考）如图，在正方形,ABCD,中，,E,，,F,分别为,AD,，,BC,的中点，,P,为对角线,BD,上的一个动点，则下列线段的长等于,AP,EP,最小值的是,(D),A,、,AB B,、,DE,C,、,BD D,、,AF,分析：,A,、,E,两点在,BD,同侧，要求取最小值，所以需要做对称，将点,A,转化到异侧。,A,B,c,d,E,F,P,中考链接：,1、（2018天津中考）如图，在正方形ABCD中，E，F分别,21,2,、如图，矩形,ABCD,中，,AB,6,，,MN,在边,AB,上运动，,MN,3,，,AP,2,，,BQ=5,，,PM,MN,NQ,最小值是,_,。,P,+3,2、如图，矩形ABCD中，AB6，MN在边AB上运动，MN,22,2,、如图,1,，抱物线,y,x,2,bx,c,与,x,轴相于点,A,，,C,与,y,轴相交于点,B,，连接,AB,，,BC,，点,A,的坐标为（,2,，,0,），,tanBAO,2,以段,BC,为直径作,M,的交,AB,于点,D,过点,B,作直线,lAC,，与抛物线和,M,的另一个交点分别是,E,，,F,。,（,1,）求该抛物线的函数表达式,（,2,）求点,C,的坐标和线段,EF,的长,（,3,）如图,2,，连接,CD,并延长，交直线,l,于点,N,点,P,，,O,为射线,NB,上的两个动点（点,P,在点,Q,的右侧，且不与,N,重合）段,PQ,与,EF,的长度相等，连接,DP,，,CQ,，四边形,CDPO,的周长是否有最小值？若有，求出此时点,P,的坐标并直接写出四边形,CDPQ,周长的最小值；若没有，请说明理由,2、如图1，抱物线y x2bxc与x轴相于点A,23,C,D,P,Q,分析：简图如右，,1,、,CD,两点在直线,y=4,同侧，要求取最小值，所以需要做对称。,2,、线段,PQ,为定值即为过桥问题，所以需要平移。,本题是将军饮马和过桥问题的综合。,y=4,y,x,CDPQ分析：简图如右，y=4yx,24,(1).,此抛物线的解析式为,y=,x,2,-,x,4,(2).,点,C,的坐标为（,-3,，,0,），点,E,的坐标为（,-1,，,4,），,EF=2,y=4,C,(1,2),3).,四边形,CDPQD,的周长有最小值理由如下：,点,D,关于直线,y=4,的对称点,D,（,1,，,6,）,D,D,先将点,C,向右平移,2,个单位长度得,C,（,-1,，,0,）,C,(-3,0),将点,P,向左平移,2,个单位长度即为点,Q.,连接,CD,交直线,y=4,于点,P,P,Q,(1,6),四边形,CDPQ,的周长即为所求,所以四边形,CDPQD,的周长,=CD+PD+PQ+PC,又,PD=PD,QC=PC,CD=,CD=,=2,-1,所以,四边形,CDPQD,的周长,=,(1).此抛物线的解析式为 y=4C(1,2)3).四边形,25,本节总结：,1,、同侧求和最小转化为异侧,2,、异侧求差最大转化为同侧,3,、过桥问题先平移,本节总结：1、同侧求和最小转化为异侧2、异侧求差最大转化为同,26,赠诗一首，便于记忆：,差同和异桥平移，,三点共线连一起。,平移对称要分清，,劝君努力争第一。,赠诗一首，便于记忆：差同和异桥平移，,27,
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