最新温度应力问题的基本解法课件

绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,温度应力问题的基本解法,温度应力问题的基本解法,温度应力问题的基本解法,第六章 温度应力问题的基本解法,6-4,按位移求解温度应力的平面问题,6-3,温度场的边界条件,6-2,热传导微分方程,6-1,温度场和热传导的基本概念,6-5,位移势函数的引用,6-6,轴对称温度场平面热应力问题,温度应力问题的基本解法第六章 温度应力问题的基本解法6-4,6-1,温度场和热传导的基本概念,1.,温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用,T,表示。,不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。,即,T,=,T,（,x,，,y,，,z,，,t,）,稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。,即,T,=,T,（,x,，,y,，,z,）,平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。,即,T,=,T,（,x,，,y,，,t,）,2.,等温面：在任一瞬时，连接温度场内温度相同各点的曲面。显然，沿着等温面，温度不变；沿着等温面的法线方向，温度的变化率最大。,T+2T,T+T,T,T-T,x,o,y,温度应力问题的基本解法,6-1 温度场和热传导的基本概念1.温度场：在任一瞬时，弹,3.,温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢量。用,T,表示，其大小用 表示。其中,n,为等温面的法线方向。温度梯度在各坐标轴的分量为,温度应力问题的基本解法,取 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有,T,（,1,）,3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢量。用,4.,热流速度：在单位时间内通过等温面面积,S,的热量。用 表示。,热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 表示，则有,温度应力问题的基本解法,其大小为,(2),4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S 的热量。用,温度应力问题的基本解法,5.,热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。即,(3),由（,1,）和（,3,）可见，热流密度的大小,可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积,的热流速度”。,称为导热系数。由（,1,）、（,2,）、（,3,）式得,T,温度应力问题的基本解法5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度,热流密度在坐标轴上的投影,可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以,温度在该方向的递减率。,温度应力问题的基本解法,热流密度在坐标轴上的投影可见：热流密度在任一方向的分量，等于,热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。,6-2,热传导微分方程,x,y,z,取图示微小六面体,dxdydz,。假定该六面体的温度在,dt,时间内由,T,升高到 。由温度所积蓄的热量是 ，,其中 是物体的密度，,C,是单位质量的物体升高一度时所需的热量,比热容。,温度应力问题的基本解法,热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部分所,温度应力问题的基本解法,在同一段时间,dt,内，由六面体左面传入热量,q,x,dydzdt,，由右面传出热量 。因此，传入的净热量为,将 代入可见：,由左右两面传入的净热量为：,由上下两面传入的净热量为：,由前后两面传入的净热量为：,因此，传入六面体的总净热量为：,简记为：,温度应力问题的基本解法 在同一段时间dt内，由六面体左,假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供热为,W,，则该热源在时间,dt,内所供热量为,Wdxdydzdt,。,根据热量平衡原理得：,温度应力问题的基本解法,化简后得：,记,则,这就是热传导微分方程。,假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供热为,6-3,温度场的边值条件,初始条件：,边界条件分四种形式：,第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即,其中,T,s,是物体表面温度。,第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即,其中角码,s,表示“表面”，角码,n,表示法向。,温度应力问题的基本解法,为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件合称为初值条件。,6-3 温度场的边值条件 初始条件：温度应力问题的,第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差成正比的，即,温度应力问题的基本解法,其中,T,e,是周围介质的温度；称为运流放热系数，或简称热系数。,第四类边界条件 已知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。即,第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时的,6-4,按位移求解温度应力的平面问题,设弹性体内各点的温变为,T,。,对于各向同性体，若不受约束，则弹性体内各点的微小长度，都将产生正应变 （是弹性体的膨胀系数），这样，弹性体内各点的形变分量为,温度应力问题的基本解法,但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体总的形变分量是：,6-4 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各,对于平面应力的变温问题，上式简化为,温度应力问题的基本解法,这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。,对于平面应力的变温问题，上式简化为温度应力问题的基本解法这就,温度应力问题的基本解法,将应力分量用形变分量和变温,T,表示的物理方程为：,几何方程仍然为：,温度应力问题的基本解法将应力分量用形变分量和变温T表示的物理,将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温,T,表示的应力分量,将上式代入不计体力的平衡微分方程,温度应力问题的基本解法,将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温T 表示的应力分量,简化得：,这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。,同理，将应力分量代入无面力的应力边界条件,温度应力问题的基本解法,（,1,）,简化得：这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。温度,温度应力问题的基本解法,简化后得：,这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。,位移边界条件仍然为：,将式,(1),、,(2),与第二章,2-8,中式,(1),、,(2),对比，可见,（,2,）,温度应力问题的基本解法简化后得：这是按位移求解温度应力平面应,代替了体力分量,X,及,Y,，而：,则得到在平面应变条件下的相应方程。,代替了面力分量 及 。,对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力的平面应力问题的,温度应力问题的基本解法,代替了体力分量 X 及 Y，而：则得到在平面应变条件下的相,6-5,位移势函数的引用,由上一节知：在平面应力的情况下按位移求解温度应力问题时，须使位移分量,u,和,v,满足微分方程：,并在边界上满足位移边界条件和应力边界条件。实际求解时，宜分两步进行,：（,1,）求出上述微分的任意一组特解，它只需满足微分方程，而不一定要满足边界条件。（,2,）不计变温,T,，求出微分方程的一组补充解，使它和特解叠加以后，能满足边界条件。,温度应力问题的基本解法,6-5 位移势函数的引用 由上一节知：在平面应力的,温度应力问题的基本解法,引用一个函数 ，将位移特解取为：,函数 称为位移势函数。以 和 分别作为,u,和,v,代入微分方程，简化后得：,由于 和 都是常量，所以取：,时，满足微分方程。因此 ，可以作为微分方程的一组特解。将,以及,代入位移分量和变温,T,表示的应力分量表达式,温度应力问题的基本解法 引用一个函数,温度应力问题的基本解法,可得相应位移特解的应力分量是：,温度应力问题的基本解法可得相应位移特解的应力分量是：,设 ，为位移的补充解，则 ，需满足齐次微分方程：,相应于位移补充解的应力分量为（注意不计变温，即,T,=0,）：,温度应力问题的基本解法,设 ，为位移的补充解，则 ，需满,总的应力分量是：,需满足应力边界条件。在应力边界问题中（没有位移边界条件），可以把相应于位移补充解的应力分量直接用应力函数来表示，即,其中的应力函数 可以按照应力边界条件的要求来选取。,温度应力问题的基本解法,在平面应变条件下，将上述各方程中的,这样总的位移分量是：,需满足位移边界条件。,总的应力分量是：需满足应力边界条件。在应力边界问题中（没有位,温度应力问题的基本解法,例,1,图示矩形薄板中发生如下的变温：,其中的,T,0,是常量。若 ，试求其温度应力。,x,y,o,a,a,b,b,解：位移势函数 所应满足的微分方程为,比较两边系数，得,代入上式，得,取,温度应力问题的基本解法例1 图示矩形薄板中发生如下的变温：,将,A,，,B,回代，得位移势函数,于是相应于位移特解的应力分量为,为求补充解，取 可得所需要的相应于位移补充解的应力分量：,温度应力问题的基本解法,因此，总的应力分量为,边界条件要求,将A，B回代，得位移势函数温度应力问题的基本解法因此，总的应,显然，后三个条件是满足的；而第一个条件不能满足，但由于 ，可应用圣维南原理，把第一个条件变换为静力等效条件，即，在 的边界上，的主矢量及主矩等于零：,将,温度应力问题的基本解法,代入上式，求得,于是矩形板的温度应力为：,显然，后三个条件是满足的；而第一个条件不能满足，但由于,6-6,轴对称温度场平面热应力问题,对于圆形、圆环及圆筒等这类轴对称结构弹性体，若其变温也是轴对称的,T,=,T,（,r,），则可简化为轴对称温度场平面热应力问题。轴对称温度场平面热应力问题，宜采用极坐标求解。,不考虑体积力平面应力问题平衡方程,在轴对称问题中得到简化，其第二式自然满足；而第一式成为,温度应力问题的基本解法,6-6 轴对称温度场平面热应力问题 对于圆形、圆环,温度应力问题的基本解法,几何方程简化为,物理方程简化为,将应力用应变表示,温度应力问题的基本解法 几何方程简化为 物理方程简化为,将几何方程代入上式，然后将其代入平衡方程，得按位移求解轴对称热应力的基本方程：,或写成：,积分两次可得到轴对称问题位移分量：,式中,A,，,B,为任意常数，积分下限取为,a,。由上式可得应力分量：,温度应力问题的基本解法,将几何方程代入上式，然后将其代入平衡方程，得按位移求,其中常数,A,，,B,由边界条件确定。,在平面应变的情况下，只需在以上各式中将,例,2,设有一厚壁圆筒，内半径为,a,，外半径为,b,。从一均匀温度加热，内表面增温,T,a,，外表面增温,T,b,，如图所示。试求筒内无热源，热流稳定后的热应力。,a,b,T,a,T,b,得无热源，热流稳定后的热传导微分方程为,解：首先求温度场。由热传导微分方程,温度应力问题的基本解法,其中常数A，B由边界条件确