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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五节 奈魁斯特稳定判据,11/17/2024,1,主要内容,幅角定理,奈魁斯特稳定判据,奈氏稳定判据在,、,型系统中的应用,在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性,奈魁斯特稳定判据是,用开环频率特性判别闭环系统的稳定性,。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,11/17/2024,2,一、幅角定理：,设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为：，如下图所示：,令：,则开环传递函数为：,(a),闭环传递函数为：,(b),11/17/2024,3,显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。那么辅助方程可写成以下形式：,。式中，为F(s)的零、极点。,由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：,F(s)的极点为开环传递函数的极点；,F(s)的零点为闭环传递函数的极点；,将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：,.(c),11/17/2024,4,F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ，称为 在F(s)平面上的映射。,同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。,例辅助方程为：，则s平面上 点（-1，j1），映射,到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：,11/17/2024,5,同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如以下图：,示意图,曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。,再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。,这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。,11/17/2024,6,柯西幅角定理,：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。,假设N为正，表示 顺时针运动，包围原点；,假设N为0，表示 顺时针运动，不包围原点；,假设N为负，表示 逆时针运动，包围原点。,11/17/2024,7,二、奈魁斯特稳定判据：,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是的。设想：,如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：,当已知,开环,右半极点数时，便可由N判断,闭环,右极点数。,11/17/2024,8,这里需要解决两个问题：,1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？,2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？,它可分为三部分：部分是正虚轴，部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；,；部分是负虚轴，。,第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：,11/17/2024,9,F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由,，得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分,的映射。稍后将介绍具体求法。,得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。,第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：,11/17/2024,10,F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。,奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。,F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。,由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时，即F(s)=1。（对应于映射曲线第部分）,11/17/2024,11,F(s)与 的关系图。,11/17/2024,12,根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，那么可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈魁斯特稳定判据。,奈魁斯特稳定判据,：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且幅相曲线逆时针包围临界点的圈数(-1,j0)点为R，（R0逆时针，R=1时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，R=1，而 ，则 闭环系统是稳定的。,11/17/2024,16,当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。,当k0，闭环系统不稳定。,11/17/2024,30,例:利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传递函数为,解：作出其开环对数频率特性，如以下图所示。P0，因而该闭环系统稳定的充要条件是：,由图可见在L()0的频域内()总大于180，N=0，故闭环,系统是稳定的。,11/17/2024,31,例 利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函数为,解：作出其开环对数频率特性，如以下图所示。该系统开环传递函数,含有2个积分环节,且由00+时,()由0-180，用虚线,绘出相频特性的增补局部。由图知L()0dB的频段上,N+0，N-1，R 2，而P 0，那么Z2，闭环系统不稳定。,11/17/2024,32,
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