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第四讲 基本不等式,第一章,集合、常用逻辑用语与不等式,考点帮,必备知识通关,考点 基本不等式及其应用,考法帮,解题能力提升,考法,1,利用基本不等式求最值,考法,2,利用基本不等式解决实际问题,高分帮,“,双一流,”,名校冲刺,明易错 误区警示,易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错,考情解读,考点内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,基本不等式及其应用,掌握,2020,天津,T14,课程学习,考法,1,逻辑推理,数学运算,2017,江苏,T10,生活实践,考法,2,考情解读,命题,分,析预测,本讲是高考的热点,主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式等,常与函数综合命题,解题时需注意应用基本不等式时要满足的三个前提条件,.,考点 基本不等式及其应用,考点帮,必备知识通关,考点,基本不等式及其应用,1,.,基本不等式,如果,a,0,b,0,那么,当且仅当,a,=,b,时,等号成立,.,其中,叫作,a,b,的算术平均数,叫作,a,b,的几何平均数,.,即正数,a,b,的算术平均数不小于它们的几何平均数,.,2,.,几个常用的重要结论,(1),a,2,+,b,2,2,ab,(,a,b,R,当且仅当,a,=,b,时取等号,),.,(2),a,+,b,2,(,a,0,b,0,当且仅当,a,=,b,时取等号,),.,(3),ab,(,),2,(,a,b,R,当且仅当,a,=,b,时取等号,),.,(4),a,+,2(,a,0,当且仅当,a,=1,时取等号,);,a,+,-2(,a,0,b,0,当且仅当,a,=,b,时取等号,),.,注意,在,运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立,.,3,.,利用基本不等式求最值,已知,x,0,y,0,.,(1),若,x,+,y,=,s,(,和为定值,),则当,x,=,y,时,积,xy,取得最大值,(,简记,:,和定积最大,);,(2),若,xy,=,p,(,积为定值,),则当,x,=,y,时,和,x,+,y,取得最小值,2,(,简记,:,积定和最小,),.,注意,(,1),此结论应用的前提是,“,一正,”“,二定,”“,三相等,”,.,“,一正,”,指正数,“,二定,”,指求最值时和或积为定值,“,三相等,”,指满足等号成立的条件,.,(2),连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立,.,考法,1,利用基本不等式求最值,考,法,2,利用基本不等式解决实际问题,考法帮,解题能力提升,考,法,1,利用基本不等式求最值,示例,1,已知,a,b,0,则,a,+,的最小值为,A.,B.4,C.2,D.3,命题角度,1,利用拼凑法求最值,思维导引,观察式子的结构特征,将,a,用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式,利用基本不等式求最值,解析,因为,a,=,(,a,+,b,)+(,a,-,b,),所以,a,+,(,a,+,b,)+,(,a,-,b,)+,.,(,变形凑成积为定值,),因为,a,b,0,所以,a,+,b,0,a,-,b,0,.,由基本不等式可得,(,a,+,b,)+,2,=2,当且仅当,(,a,+,b,)=,即,a,+,b,=2,时,等号成立,;,(,a,-,b,)+,2,当且仅当,(,a,-,b,)=,即,a,-,b,=,时,等号成立,.,由,解得,(,检验等号成立的条件,),所以当,时,中的等号同时成立,.,故,a,+,的最小值为,2,=3,.,答案,D,方法技巧,利用拼凑法求最值的技巧,拼凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法,.,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,.,注意,注意,变形的等价性及基本不等式应用的前提条件,.,命题角度,2,利用常数代换法求最值,示例,2,若,直线,2,mx,-,ny,-2=0(,m,0,n,0),过点,(1,-2),则,的最小值为,A,.,2B,.,6C,.,12D,.,3+2,思维导引,把点的坐标代入直线的方程得,m,与,n,的关系式,进行,“1”,的代换,利用基本不等式求最值,解析,因为直线,2,mx,-,ny,-2=0(,m,0,n,0),过点,(1,-2),所以,2,m,+2,n,-2=0,即,m,+,n,=1,所以,=(,)(,m,+,n,)=3+,3+2,(,运用“,1”,的代换求解,),且仅当,即,n,=,m,时取等号,所以,的最小值为,3+2,.,答案,D,方法技巧,1,.,常数代换法求最值适用的题型及解题通法,当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出,(,ax,+,by,)(,)(,a,b,m,n,为常数,),的形式,利用,(,ax,+,by,)(,)=,am,+,bn,+,am,+,bn,+2,(,当且仅当,时等号成立,),得到结果,.,2,.,常数代换法求解最值应注意的问题,(1),确定或分离出常数是基础,;,(2),将已知等式化成关于,“1”,的表达式是代数式等价变形的关键,;,(3),利用基本不等式求最值时注意基本不等式应用的前提条件,.,命题角度,3,利用消元法求最值,示例,3,已知,正实数,a,b,满足,ab,-,b,+1=0,则,+4,b,的最小值是,.,思维导引,先,将已知等式变形,可得,a,=,然后对,+4,b,=,+4,b,进行合理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可,.,解析,由,ab,-,b,+1=0,可得,a,=,由,a,=,0,且,b,0,得,b,1,所以,+4,b,=,+4,b,=,+4(,b,-1)+5,.,(,消元,),易知,+4(,b,-1)4,所以,+4,b,9,当且仅当,=4(,b,-1),即,b,=,a,=,时等号成立,故,+4,b,的最小值是,9,.,方法技巧,利用消元法求最值的技巧,消元法,即先根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式,再进行最值的求解,.,有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解,但应注意各个元的范围,.,考,法,2,利用,基本不等式解决实际问题,示例,4,经,调查测算,某产品的年销售量,(,即该厂的年产量,),x,万件与年促销费用,m,万元,(,m,0),满足,x,=3-,(,k,为常数,),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是,1,万件,.,已知,2020,年生产该产品的固定投入为,8,万元,每生产,1,万件该产品需要再投入,16,万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的,1,.,5,倍,(,产品生产包括固定投入和再投入两部分资金,),.,(1),将,2020,年该产品的利润,y,万元表示为年促销费用,m,万元的函数,;,(2),该厂家,2020,年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大,?,思维导引,题中信息,对接方法,年销售量、,年促销费用,由题中信息确定,k,值,进而明确两者关系,.,销售价格、成本,销售价格、成本用年销售量,x,与年促销费用,m,表示,构建关于,m,的关系式,.,利润最大,利用基本不等式求解,.,解析,(1),由题意可知,当,m,=0,时,x,=1,1=3-,k,解得,k,=2,即,x,=3-,(,代值定参数,),每,1,万件产品的销售价格为,1,.,5,(,万元,),百度文库,VIP,特权福利,特权说明,服务特权,VIP,专享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用,VIP,专享文档下载特权下载或阅读完成,VIP,专享文档（部分,VIP,专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载,/,读完一篇,VIP,专享文档消耗一个,VIP,专享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,60,次,VIP,专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。,VIP,专享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,每月专享,9,次,VIP,专享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,共享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和,VIP,专享文档），每下载一篇共享文档消耗一个共享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,100,次共享文档下载特权，一次发放，全年内有效,赠送的共享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,赠送每月,15,次共享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,累积特权,在购买的,VIP,时长期间，下载特权不清零。,100W,优质文档免费下载,VIP,有效期内的用户可以免费下载,VIP,免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券,/,积分获取。,部分付费文档八折起,VIP,用户在购买精选付费文档时可享受,8,折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。,内容特权,0,下载券文档一键搜索,VIP,用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索,0,下载券文档，下载券不够用不再有压力！,无限次复制特权,VIP,有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容,文档格式转换,VIP,有效期内可以将,PDF,文档转换成,word,或,ppt,格式，一键转换，轻松编辑！,阅读页去广告,VIP,有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。,多端互通,VIP,有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。,其他特权,抽奖特权,开通,VIP,后可以在,VIP,福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！,福利特权,开通,VIP,后可在,VIP,福利专区定期领取多种福利礼券。,VIP,专享精彩活动,开通,VIP,后可以享受不定期的,VIP,优惠活动，活动多多，优惠多多。,VIP,专属身份标识,当您成为百度文库,VIP,后，您的专有身份标识将被点亮，随时随地彰显尊贵身份。,专属客服,VIP,专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服,QQ,：,800049878,VIP,礼包,百度阅读,VIP,精品版特权,享受阅读,VIP,精品版全部权益：,1.,海量精选书免费读,2.,热门好书抢先看,3.,独家精品资源,4.VIP,专属身份标识,5.,全站去广告,6.,名人书友圈,7.,三端同步,知识影响格局，格局决定命运！,2020,年的利润,y,=,x,(1,.,5,)-(8+16,x,+,m,),(,建模,利润,=,总收入,-,总投入,),=4+8,x,-,m,=4+8(3-,)-,m,=28-,-,m,(,m,0,),.,y,与,m,之间的函数关系式是,y,=28-,-,m,(,m,0,),.,(2),由,(1),知,y,=-,+(,m,+1)+29(,m,0),.,当,m,0,时,+(,m,+1)2,=8,(,利用基本不等式求最值,),当且仅当,=,m,+1,即,m,=3,时取等号,y,-8+29=21,即当,m,=3,时,y,取得最大值,为,21,.,当该厂家,2020,年的促销费用投入,3,万元时,厂家获得的利润最大,为,21,万元,.,方法技巧,应用,基本不等式解决实际问题的基本步骤,(1),理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题,;,(2),在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值,;,(3),还原为实际问题,写出答案,.,注意,(,1),当运用基本不等式求最值时,若使等号成立的自变量的取值不在定义域内,则不能使用基本不等式求解,此时应根据变量的取值范围,利用对应函数的单调性求解,.,(2),注意某些实际问题中的隐含条件,如变量为整数,单位换算等,.,(3),使用基本不等式的次数要尽量少,若多次使用,要验证等号能否同时成立,.,高分
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