资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,3.1变化率与导数、导数的计算,3.1变化率与导数、导数的计算,1,教材研读,1.导数的概念,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则,教材研读1.导数的概念2.基本初等函数的导数公式3.导数的运,考点突破,考点,一 导,数计算,考点,二 导,数的几何意义,考点突破考点一 导数计算考点二 导数的几何意义,1,.导数的概念,(1)函数,y,=,f,(,x,)在,x,=,x,0,处导数的定义,称函数,y,=,f,(,x,)在,x,=,x,0,处的瞬时变化率,=,为函数,y,=,f,(,x,)在,x,=,x,0,处的导数,记作,f,(,x,0,)或,y,即,f,(,x,0,)=,=,教材研读,1.导数的概念教材研读,4,.,(2)导数的几何意义,函数,f,(,x,)在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,)的几何意义是曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,y,0,)处的,切线的斜率,.相应地,切线方程为,y,-,y,0,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),.,(3)函数,f,(,x,)的导函数,称函数,f,(,x,)=,为,f,(,x,)的导函数.,.,5,2.基本初等函数的导数公式,原函数,导数,f,(,x,)=,C,(,C,为常数),f,(,x,)=,0,f,(,x,)=,x,(,Q,*,),f,(,x,)=,x,-1,f,(,x,)=sin,x,f,(,x,)=,cos,x,f,(,x,)=cos,x,f,(,x,)=,-sin,x,f,(,x,)=,a,x,(,a,0,且,a,1),f,(,x,)=,a,x,ln,a,f,(,x,)=e,x,f,(,x,)=,e,x,f,(,x,)=log,a,x,(,a,0,且,a,1),f,(,x,)=,f,(,x,)=ln,x,f,(,x,)=,2.基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)=C(C为常数),6,3.导数的运算法则,(1),f,(,x,),g,(,x,)=,f,(,x,),g,(,x,),;,(2),f,(,x,),g,(,x,)=,f,(,x,),g,(,x,)+,f,(,x,),g,(,x,),;,(3),=,(,g,(,x,),0),.,3.导数的运算法则,7,4.复合函数的导数,复合函数,y,=,f,g,(,x,)的导数和函数,y,=,f,(,u,),u,=,g,(,x,)的导数间的关系为,y,x,=,y,u,u,x,即,y,对,x,的导数等于,y,对,u,的导数与,u,对,x,的导数的,乘积.,4.复合函数的导数,8,1,.,一个物体的运动方程为,s,=1-,t,+,t,2,其中,s,的单位是米,t,的单位是秒,那么,物体在3秒末的瞬时速度是,(,C,),A.7米/秒B.6米/秒,C.5米/秒D.8米/秒,1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,9,2.,曲线,y,=,x,3,-3,x,2,+1在点(1,-1)处的切线方程为,(,B,),A.,y,=3,x,-4B.,y,=-3,x,+2,C.,y,=-4,x,+3D.,y,=4,x,-3,3.若函数,f,(,x,)=e,x,sin,x,则此函数图象在点(4,f,(4)处的切线的倾斜角为,(,C,),A.,B.0C.钝角D.锐角,2.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为,10,4.已知函数,f,(,x,)的导函数为,f,(,x,),且满足关系式,f,(,x,)=,x,2,+3,xf,(2)+ln,x,则,f,(2)的值为,(,D,),A.2B.-2C.,D.-,4.已知函数 f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f,11,5.,已知函数,y,=,f,(,x,)及其导函数,y,=,f,(,x,)的图象如图所示,则曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(2,0)处的切线方程是,x,-,y,-2=,0,.,5.已知函数y=f(x)及其导函数y=f(x)的图象如图,12,导数计算,典例1,求下列函数的导数:,(1),y,=,;,(2),y,=sin,4,+cos,4,;,(3),y,=,.,考点突破,考点突破,13,解析,(1),y,=,=,+,=,+,y,=,-,=,-,.,(2),y,=sin,4,+cos,4,=,-2sin,2,cos,2,=1-,sin,2,=,+,cos,x,y,=-,sin,x,.,(3)设,y,=,u,=sin,x,则,y,x,=,y,u,u,x,=-,cos,x,=-,(sin,x,cos,x,.,解析(1)y=+=+,14,方法指导,导数运算的原则与方法,(1)原则:先化简解析式,再求导.,(2)方法:,方法指导,15,提醒,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商,的形式时,如能化简则化简,这样可减少运算量.,16,(1),y,=(3,x,3,-4,x,)(2,x,+1);,(2),y,=-sin,;,(3),y,=,.,1-1,求下列各函数的导数:,(1)y=(3x3-4x)(2x+1);1-1求下列各函数,17,y,=24,x,3,+9,x,2,-16,x,-4.,(2),y,=-sin,=-sin,=,sin,x,y,=,=,(sin,x,)=,cos,x,.,(3),y,=,=,=,.,解析,(1),y,=(3,x,3,-4,x,)(2,x,+1)=6,x,4,+3,x,3,-8,x,2,-4,x,y=24x3+9x2-16x-4.解析(1)y=(3,18,典例2,函数,f,(,x,)=,x,2,的图象在点(2,f,(2)处的切线方程为,y,=,x,-,1,.,导数的几何意,义,命题方向一求切线方程,解析,由,f,(,x,)=,x,2,得,f,(2)=1,f,(,x,)=,x,故,f,(2)=1,所以函数,f,(,x,)=,x,2,的图象,在点(2,f,(2)处的切线的斜率为1,故所求切线方程为,y,=,x,-1.,典例2函数f(x)=x2的图象在点(2,f(2)处的,19,探究,求函数,f,(,x,)=,x,2,的图象过点,的切线的方程,.,探究求函数f(x)=x2的图象过点的切线的方程.,20,解析,设函数,f,(,x,)的图象过点,的切线与函数图象的切点坐标为,由,f,(,x,)=,x,2,得,f,(,x,)=,x,故,f,(,x,0,)=,x,0,所以函数,f,(,x,)的图象过点,的切线方程为,y,-,=,x,0,(,x,-,x,0,),将,代入上述方程并整理得,-8,x,0,+7=0,解得,x,0,=1或,x,0,=7.,所以函数,f,(,x,)的图象过点,的切线方程为,y,=,x,-,或,y,=,x,-,.,解析设函数f(x)的图象过点的切线与函数图象的切点坐标为,21,方法指导,若已知曲线过点,P,(,x,0,y,0,),求曲线过点,P,(,x,0,y,0,)的切线,则需分点,P,(,x,0,y,0,)是切,点和不是切点两种情况求解.,(1)当点,P,(,x,0,y,0,)是切点时,切线方程为,y,-,y,0,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,).,(2)当点,P,(,x,0,y,0,)不是切点时可按以下步骤解题:,第一步:设切点为,P,(,x,1,f,(,x,1,);,第二步:写出过,P,(,x,1,f,(,x,1,)的切线方程,y,-,f,(,x,1,)=,f,(,x,1,)(,x,-,x,1,);,第三步:将点,P,的坐标(,x,0,y,0,)代入切线方程,求出,x,1,;,第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线,方程.,方法指导第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x,22,典例3,(1)已知曲线,y,=,-3ln,x,的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标,为,(,B,),A.3B.2C.1D.,(2)曲线,y,=,x,-,(,x,0)在点,P,(,x,0,y,0,)处的切线分别与,x,轴、,y,轴交于点,A,、,B,O,是坐标原点,若,OAB,的面积为,则点,P,的坐标为,.,命题方向二求切点的坐标,典例3(1)已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为-,23,解析,(1),y,=,x,-,设切点的横坐标为,x,0,则由题意得,x,0,-,=-,解得,x,0,=-3或,x,0,=2,由题意易知,x,0,0,所以,x,0,=2.,(2)由题意可得,y,0,=,x,0,-,x,0,0,y,=1+,曲线在点,P,处的切线的斜率为1+,解析(1)y=x-,设切点的横坐标为x0,24,则曲线在点,P,处的切线的方程为,y,-,x,0,+,=,(,x,-,x,0,),令,x,=0得,y,=-,;令,y,=0得,x,=,OAB,的面积为,即,=,解得,x,0,=,(舍负),进而得,y,0,=,.,故答案为,.,易错警示,注意所求切点的横坐标的取值范围.,则曲线在点P处的切线的方程为y-x0+=(x-x0),易,25,典例4,已知函数,f,(,x,)=,a,ln,x,+,x,2,+,bx,(,a,b,R)在,x,1,=2,x,2,=3处取得极值.,(1)求,a,b,的值;,(2)求曲线,f,(,x,)在点,P,(1,f,(1)处的切线方程.,命题方向三求参数的值,典例4已知函数f(x)=aln x+x2+bx(a,b,26,解析,(1),f,(,x,)=,+,x,+,b,=,令,f,(,x,)=,=0,据题意,知2,3是关于,x,的方程,x,2,+,bx,+,a,=0的两个根,所以,(2)由(1)得,f,(,x,)=6ln,x,+,x,2,-5,x,则,f,(1)=,-5=-,得,P,.因为,f,(,x,)=,所以,f,(1)=2,所以所求切线方程为,y,+,=2(,x,-1),即,y,=2,x,-,.,解析(1)f(x)=+x+b=,令f(x,27,典例5,(2016课标全国理,16,5分)若直线,y,=,kx,+,b,是曲线,y,=ln,x,+2的切,线,也是曲线,y,=ln(,x,+1)的切线,则,b,=,1-ln,2,.,两条曲线的公切线,典例5(2016课标全国理,16,5分)若直线y=,28,解析,直线,y,=,kx,+,b,与曲线,y,=ln,x,+2,y,=ln(,x,+1)均相切,设切点分别为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),由,y,=ln,x,+2得,y,=,由,y,=ln(,x,+1)得,y,=,k,=,=,x,1,=,x,2,=,-1,y,1,=-ln,k,+2,y,2,=-ln,k,即,A,B,A,、,B,在直线,y,=,kx,+,b,上,解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+,29,规律方法,求两条曲线的公切线的方法,(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求,解.,(2)利用公切线得出关系式.,设公切线,l,在,y,=,f,(,x,)上的切点为,P,1,(,x,1,y,1,),在,y,=,g,(,x,)上的切点为,P,2,(,x,2,y,2,),则,f,(,x,1,)=,g,(,x,2,)=,.,规律方法,30,3-1,曲线,f,(,x,)=e,x,在,x,=0处的切线与曲线,g,(,x,)=,ax,2,-,a,(,a,0)相切,则过曲线,g,(,x,)的切点且与该切线垂直的直线方程为,x,+,y,+1=,0,.,3-1曲线f(x)=ex在x=0处的切线与曲线g(x)=a,31,解析,曲线,f,(,x,)在,x,=0处的切线方程为,y,=,x,+1.,设其与曲线,g,(,x,)=,ax,2,-,a,(,a,0)相切于点(,x,0,a,-,a,),则,g,(,x,0,)=2,ax,0,=1,且,a,-,a,=,x,0,+1.,解得,x,0,=-1,a
展开阅读全文