冲击响应和阶跃响应

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,5.3,冲击响应和阶跃响应,1,.,冲击响应,定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即,:,因为只有在,t=0,时,（,t,）,才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在,t,0,时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即：,2,.,h,(,t,),求法,例,:,已知电路如图，,i,L,(0,-,)=0,求,i,L,(,t,),解：（,1,）建立电路方程：,(1),直接法,:,（等效初始条件法）,(2),将其转换为等效零输入响应：,（,3,）求解：三要素法得：,(2),比较系数法,因为由电路系统的（,1,）问题转为（,2,）问题，电路系统的解应具有相同的函数形式，一般,（,1,）对于,n,m,时，若电路系统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为,（,2,）,n=m,时，若特征根互异：,（,3,）,n,0,，,U(t)0.,系统的阶跃响应是求解非齐次方程（,0,初条），它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得：,强迫响应：,(2),求阶跃响应的常用方法,（,1,）由,h,(,t,),g,(,t,),方程（,1,）中左端最高阶为,g,(n),(t,),，右端最高阶为,U,(m),(t,),即使,m=n,，,g(t),中也不会包含,(t,),故在,nm,时，若（,1,）式特征根互异，则自由响应：,故,由此可采用求冲击响应类似的方法，求得,g(t,),(1),线性性（即迭加性和均匀性）,定理,1,：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的：,a.,响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响应，零状态响应。,b.,零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。,c.,零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。,3.LTI,电路系统的基本性质,注意：,（,1,）当系统同时存在,n,个激励时，系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性关系。,（,2,）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。,（,3,）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输入线性，零状态线性。,我们对第二条进行证明,设一阶电路方程为,（,1,）叠加性,若,x,1,(,t,),，,x,2,(,t,),分别激励系统时，相应的零状态响应为,y,1,(,t,),和,y,2,(,t,),，,它们应当满足方程（,1,）,（1）,（2）,（3）,将上两式相加得：,（4）,如果在,t,=0,时，在电路中的相同位置上，同时加入,x,1,(,t,)+,x,2,(,t,),，,则相应的零状态响应为,y,(,t,),，,则必然有,根据微分方程的唯一性充分条件，式（,4,）和（,5,）中，初始状态和激励相同，而,1/,仅决定于电路结构和元件参数，也应是相同的。所以其解也必然相同。,（5）,这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。,（,2,）若在上述同一电路的相同位置，,t=0,时接入激励,x,1,(,t,),是实数，相应的零状态响应为,y,3,(,t,),，,则：,（6）,而,如果用,同时乘方程（,2,）的两边，则得：,（7）,于是：,y,(,t,),=y,1,(,t,),+y,2,(,t,),根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（,6,）（,7,）两式得：,这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。,由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。,同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。,这个线性系统的性质具有非常重要的意义。,(2).,延时不变性：（定常特性）,定理,2,：,若线性时不变系统，输入为,f,(,t,),时，引起的响应为,y,(,t,),则输入为,f,(,t,-,),时，引起的响应为,y,(,t,-,),。这就是说，响应的波形与输入的时间无关，仅是起点改变。即若,f,(,t,),y,zs,(,t,),，则,(3).,微分特性：,定理,3,：,若线性时不变系统在激励,f,(,t,),作用下，产生零状态响应为,y,zs,(,t,),，,则当激励为,f,(,t,),时，其响应为,y,(,t,),f,(,t,),零状态,y,zs,(,t,),证明：因为,f,(,t,),y,(,t,),根据延时不变性：,f,(,t,t,),y,(,t,t,),又因为系统具有叠加性和均匀性：,根据导数的定义有：,证毕。,推论：,（,1,）这个特性可以推广至高阶导数和积分。,（,2,）对几个典型的信号有：,(4).,因果特性：,a.,因果系统：如果,t,t,0,时，系统的激励信号为,0,，相应的输出响应在,t,t,0,时也等于,0,，则这样的系统称为因果系统。,b.,因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激励引起的效果，或者说系统没有预知未来的能力，只有在激励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。,一切物理可实现系统都是因果系统，都具有因果特性。,由常系数微分方程描述的系统都是因果系统，都满足,因果性，因此，因果系统的充分必要条件是：,h,(,t,)=0 (,t,0),g,(,t,)=0 (,t,0),例：某,LTIS,，,在相同的初始状态下，输入,为,f,(,t,),时，响应为：,y,(,t,),=,(2,e,-3,t,+,sin,2,t,),U,(,t,),，输入为,2,f,(,t,),时，响应为：,y,(,t,),=,(2,e,-3,t,+,2,sin,2,t,),U,(,t,),试求,：（,1,）初态加大一倍，输入为,f,(,t,),/2,，系统响应,（,2,）初态不变，输入为,f,(,t-t,0,),时，系统响应,解：设在相同初态和,f,(,t,),作用下，,（,2,）,（3）,思考：输入为,tf,(,t,),或,e,-kt,f,(,t,),，零状态是否还成线性。,联解得：,