为Hilbert空间.

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义1 设 为Hilbert空间 到 中的有界限性算子，假设 ，则称 为 上的自伴算子；假设 ，则称 为 上正常算子；假设 是 到 的一对一映射，且 ，则称 为 上的酉算子。,在矩阵理论中，我们已经争论过Hermitian阵，酉阵和正常阵，下面我们要在Hilbert空间中建立起相应的自伴算子、酉算子和正常算子的概念，并争论这些算子的一些根本性质。,9.5自伴算子、酉算子和正常算子,当 是自伴算子时，由 的定义，对一切 ，成立,明显自伴算子必为正常算子。又由酉算子的定义，成立,其中 为 上恒等算子；反之，假设2式成立，则 为 上的酉算子。由2式知，酉算子必为正常算子。正常算子不肯定是酉算子或自伴算子，例如 ，则 ，所,以 ，即 是正常算子，但明显 不是自伴算子和酉算子。,引理1 设 为复内积空间 上有界限性算子，那么 的充要条件为对一切 ，成立,证明 假设 ，明显有 ；反之，假设3式对一切 成立，对任意 及数 ，令 ，由条件得,令 ，则 ，此时由4式,又假设令 ，则由4式,将5式与6式相加，得到 ，由于 是 中的任意向量，所以 。证毕。,定理1 设 为复Hilbert空间 上有界限性算子，则 为自伴算子的充要条件为对一切 ，是实数。,证明 假设 为自伴算子，则对全部 ，有,因此 是实数；反之，假设对全部 ，,皆为实数，则,所以 。由引理1，即 自伴，证毕。,定理2 设 和 是Hilbert空间 上两个自伴算子，则 自伴的充要条件为 。,证明,由共轭算子性质，,所以，自伴的充要条件为 ，证毕。,定理3 设 是空间 上一列自伴算子，并且 ，那么 仍为 上自伴算子。,证明,因 ，,由于 ，所以 ，,但 自伴，故 ，因此由极限的唯一,性，成立 。证毕。,定理4 设 及 是Hilbert空间 上两个酉算子，那么,1 是保范算子，即对任意 ，成立 ；,2当 时，；,3 是酉算子；,4 是酉算子；,5假设 是 上一列酉算子，且 收敛于有界算子 ，则 也为酉算子。,证明 1由酉算子定义,2 由1马上可得。,3 因 为一一到上，故 也一一到上，并且由于 ，所以 仍为酉算子。,4 因 及 为酉算子，故为一一到上映射，所以 仍为一一到上映射，且,所以 仍为酉算子。,5 当 时，因 ，,所以 ，即 ，,因此 。同理可证 。,故 为酉算子。证毕。,定理4中的1的逆命题不肯定成立，即保范算子不肯定为酉算子。,例1 设 ，为 中如下定义的算子，对任何 ，令,明显 是 到 中的线性算子，并且,所以 是保范算子。但 的像为 中第一个坐标为0的向量全体。故 不映射到上，因此不是酉算子。称 为 上单向移位算子。,定理5 设 为复Hilbert空间 上有界限性算子，那么 是酉算子的充要条件为 是映射到上的保范算子。,证明 由定理4的1，只要证明充分性即可。设 为 到 上的保范算子，所以 是一对一的，并且对任何 ，有,所以 。由引理1，。又因 是映射到 上的，故 在全空间 上有定义，由于 ，所以 ，即 。这就证明白 是酉算子。证毕。,下面介绍正常算子的一些根本性质。设 是复Hilbert空间 上的有界算子，令,简洁证明 和 是自伴算子，并且有 。称 和 分别为算子 的实部和虚部，并称 为算子 的笛卡尔分解。,定理6 设 为复Hilbert空间 上有界限性算子，为 的笛卡尔分解，则 是正常算子的充要条件为 。,证明,因,所以,因此，的充要条件为,证明 必要性：假设 ，则对任何 ，成立,所以 。,充分性：假设对任何 ，成立 ，则,，即 。证毕,。,定理7 设 为复Hilbert空间 上有界限性算子,则 是正常算子的充要条件为对任何 ，成立 。,由引理1，即 是 上正常算子。证毕。,