命题与解题思路解(建模分析)

,*,单击此处编辑母版标题样式,解题思路,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,CUMCM09,年,B,题,“眼科病床的合理安排,”,命题、解题思路解析及论文点评,国防科技大学 吴孟达,河南 郑州,2010,年,4,月,8,日,1,解题思路,目 录,命题思路,解题思路,论文点评,综合评述,2,解题思路,命 题 思 路,来自于人们司空见惯的日常生活现象,医院住院排队现象,的一道题目，问题本身非常浅显明白，专业门槛低，但解决问题中却涉及较深刻的排队论理论问题，当无法通过理论方法获得最优解时，可以通过仿真优化方法获得实用效果令人满意的可行解，以上构成该道题目的特点。,3,解题思路,这一类以排队论及仿真优化方法为主要解决方法的题目，在,CUMCM,的历年竞赛题目中，还不多见。而这一类随机服务系统优化的问题，在现实实际中却是大量存在的，因此，在以反映现实生活中的数学建模问题为己任的大学生数学建模竞赛中，出现这一类题目，也是很自然的事情，,MCM,中如,04,年,B,题“游乐场快速通道问题”，,05,年,B,题“高速公路收费站问题”，就是两个这类问题的实例。,4,解题思路,与我国庞大的人口总量相比较，好的医院与好的医生目前还是一种稀缺资源，题目中提到的医院住院排队现象及其严重程度是确实存在的，本问题提出的初衷，就是要得到对现有的病床安排,FCFS,方案的一个现实、合理的改进方案，所以，能得到最优解固然好，否则得到一个实用效果令人满意的可行解，也是可以的。,5,解题思路,主要考点：,1.,分布拟合检验；,2.,合理的评价指标体系；,3.,仿真方法应用；,4.,满足一定置信度的统计预测模型的建立；,5.,排队论优化模型的建立。,6,解题思路,评阅原则,本题解题方法比较多，结果也未必一致，评阅时主要以解题过程中体现出的对问题的理解程度与建模能力为依据。,7,解题思路,解 题 思 路,数据分析与检验,在着手解决问题前首先应对所给数据进行分析，从中获得对解题有用的信息，这是一种基本素质，是一种具有良好工程素养的表现。在本问题中，这一过程尤其重要，因为如果对病人到达规律及病人住院时间规律都不了解，问题症结就抓不准，解题将缺乏方向感，仿真计算就更无法进行了。,8,解题思路,在本题所给数据中，各类病人到达人数分别服从不同参数的,Poisson,分布，需要进行分布拟合检验及分布参数提取。,由所给数据可以看出，病人术前住院时间是确定的，依入院时间而定，所以病人住院时间中只有术后住院时间是随机的，要做拟合检验的也是这一部分时间分布。,各类病人术后住院时间分别服从正态分布、,分布 或埃尔朗分布，由于检验方法或检验细节处理不相同，可能得到以上不同的分布，这是允许的，但若得出服从负指数分布的结论，则是错误的。也有一些同学不做拟合分布检验，而是画出直方图，然后以此经验分布作仿真依据，这样处理也是可以的。,9,解题思路,数据分析做得比较深入的同学，会发现一条隐含在数据中的关键信息：术前住院时间过长是当前病床使用效率不高的主要因素。这样一个关键信息的获得，会使得建模更有方向感。,10,解题思路,第 一 问,主要考核对问题的考虑是否全面，对问题实质的理解是否到位。评价指标分两类：效率指标和公平性指标。,两类指标可以有各种不同的定义，其合理性是评分依据,。,效率指标,平均,术前住院时间，或病床有效利用率。,非外伤病人入院第,2,日（白内障）或第,3,日（其他眼病）后等待手术的时间称为病床无效时间，病床有效利用率定义为,病床有效利用率,=1-,病床无效时间,/,该病人住院时间,11,解题思路,公平性指标,从公平性考虑，希望尽量做到,FCFS,（,First come,First serve,）,公平度具体如何确定，是一个小考点。这个指标必须考虑，否则会出现尽量收白内障病人入院，以改善效率指标的现象。,一种比较具操作性的指标是,用“延期住院”病人人数占总出院人数的比例来度量不公平度。,注意到，上述公平度只考虑了“延期日子”，而没有将“插队人数”度量在内，对此可以有不同的理解与定义，不必苛求一致。,12,解题思路,第 二 问,本问主要考核能否给出一个相对合理的病床安排模型，主要目标为：提高病床有效利用率以及提高公平度。,就提高病床有效利用率而言，病人术后住院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前等待时间上作文章。经对题目所给数据的分析可知：,对白内障病人的入院时间加以限制成为提高效率的必然选择。,13,解题思路,本问主要解决方法是仿真方法，大致可分为“先仿真，再优化”与“边仿真，边优化”两类，前者是先确定若干种住院规则，然后根据仿真统计结果选出较优规则；后者是先确定一个优化原则，然后在仿真时，对每一个排队病人按照该优化原则决定住院先后。显然后者要更好一些。,14,解题思路,一种比较典型的仿真优化方法是：对每一位等待入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排序结果安排当日入院病人，由此得到公平合理的住院方案。按此方案进行仿真，再统计各项评价指标值，并与,FCFS,方案作比较，此问即告完成。,15,解题思路,值得一提的是，解法的多样性在本问题求解中得到了较充分的体现，例如有的参赛队引入了计算机操作系统进程调度中的最佳响应比算法，使公平性与效率同时得到了体现，是一种好的创意。,本问中存在的主要问题是公平性考虑不足，有的队甚至完全不考虑公平性，未免过于脱离实际，而脱离实际是建模最大的忌讳。还有较普遍存在的问题是主要优化目标不清晰，罗列了一堆目标，却未抓住提高病床使用效率这个要害，其根源还是对题目的理解以及对数据的分析不够透彻。,16,解题思路,第 三,问,此问希望学生给出一个满足一定置信度（例如：,90%,）的预约住院时间区间，区间长度越短越好。,一种自然的想法是通过同类病人术后住院时间的概率分布从理论上得到这一区间，如果能通过此种理论方法解决此问题，自然是最理想的。但这样做的一个困难是已处于术后住院状态的该类病人的继续住院时间不服从同一分布，从而将该类病人（含已住院与未住院）的预计住院时间求和后的随机变量的分布不知道。,17,解题思路,设当前时刻为,T,0,，当前排队人数为,P,，预计住院时刻为,T,，该类病人每日出院人数的统计平均值为,，则,设一个已出院病人实际住院时刻为,T,1,，通过仿真统计一段时间内所有病人的,根据,90%,的置信度确定两个阈值,从而得到当前病人的预计住院时间区间为,。,18,解题思路,第 四,问,若仍采用“一三方案”，效率较低，通过分析可以发现主要原因是对视网膜与青光眼病人而言，会造成病床使用效率降低。,通过有限种方案的仿真计算比较可知，采用“二四方案”或“三五方案”可使病床使用效率有所提高。前者效率公平总体效果较好，后者效率较高，但公平性较差。,19,解题思路,第 五,问,主要有三种模型：,一、仿真计算模型：床位分配只有有限种组合情形，可以通过穷举仿真方法得到各种组合的评价指标统计值，再比较得到最佳组合方案。此方案计算量较大，且模型通用性有一定局限。,二、服务强度平衡模型：当各分类系统的服务强度相等时，效果最佳。可以通过建立条件极值模型，利用拉格朗日方法证明这一结论。,三、排队论近似模型：通过经验公式将,M/G/K,系统近似为,M/M/K,系统，然后利用排队论的现成结论写出优化模型。,20,解题思路,论 文点 评,21,解题思路,综 合 评 述,数据检验是本问题中必须做的，但被许多参赛队所忽略，从而意外成为区分点之一。,公平性指标被许多人忽略，反映出对问题本质认识不到位。效率指标也可以适当精简。,优化模型的多样性是本题目最大的亮点，涌现许多意料之外的解法。,22,解题思路,入院时间的预测区间完成不好，大部分队没有置信度概念，不少队给出的区间与当前队长无关。,第五问理论深度较深，完成得好的不多，拉格朗日条件极值方法的运用是一种有趣的方法。,存在模型与求解“两张皮”的现象，以及捏造数据结果的现象，反映出一些学风问题，计算能力的欠缺也是一个原因。,23,解题思路,总体上说，竞赛论文完成得很好的不多，而在一些基本问题上也做得不理想的论文却不在少数，反映出学生对此类问题的生疏。另外，对问题本质的理解不到位的也大有人在。,抽象来看，本问题可归类于一个通道分类服务台共享的多通道随机服务问题，对这样的问题，排队论中还没有现成的解决方法，可以作为一个排队论问题加以继续研究。,24,解题思路,谢谢！,25,解题思路,