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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的应用,数学建模能力与数学实践能力,实际问题数学化,1.熟悉问题提供的背景；,2.能阅读理解对问题进行陈述的材料；,3.能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关系及联系,构建数学模型,将实际问题转化为数学问题；,4.运用已有知识,选择合理的途径解答问题,解答后还要回归实际背景,判定解的合理性.,程序图,实际问题,抽象概括,数学模型,求解数学模型,实际问题的解,运用数学知识,思想、方法,复原、检验,审 题,1.读题,先通读,分清哪些是为了说明现象或表达问题的实际背景的描述性词语,哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系.,2.翻译,应用题化为数学问题的关键在于对语言的理解与转换.包括:对陌生名词、概念的领悟；把文字表达语言、图形语言、数学符号语言三者进行等价转化.,3.挖掘,应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性,需要挖掘题目中蕴涵的数字信息,这也是解应用题的难点.,应用题分类,1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；,(,函数,),2.数量间的相等或不等关系,如人口控制、资源保护等；,(,方程、不等式,),3.增长率，如存款利息、人口增长等；,(,数列,),(,解析几何,),(,立体几何,),4.运行轨道、拱桥形状等；,5.几何体的形状、面积、体积等；,6.排列组合、概率.,解答函数应用题的一般步骤,1.阅读理解材料,读懂题目所表达的实际问题的意义,接受题目所约定的临时定义,理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系,分清变量与常量；,2.建立函数模型,正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立目标函数关系式,(,关键是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,),注意不要忘记考察函数的定义域；,3.求解函数模型,讨论变量及函数模型的有关性质,(,单调性,),.,典型例题,例1 某厂今年 1 月,2 月,3 月生产某种产品分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的产量与月份 x 的关系,模拟函数可选用二次函数或函数 y=abx+c(其中a,b,c为常数).4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问,用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.,解:,设,f,(,x,)=,px,2,+,qx,+,r,(,p,0),则由,f,(2)=1.2 即 4,p,+2,q,+,r,=1.2 得:,f,(1)=1,f,(3)=1.3,9,p,+3,q,+,r,=1.3,p,+,q,+,r,=1,p,=,-,0.05,q,=0.35,r,=0.7,f,(,x,)=,-,0.05,x,2,+0.35,x,+0.7.,f,(4)=,-,0.05,4,2,+0.35,4+0.7,=1.3,(,万件,),又由,g,(,x,)=,a,b,x,+,c,可得:,a,b,+,c,=1,a,b,2,+,c,=1.2,a,b,3,+,c,=1.3,g,(2)=1.2,g,(1)=1,g,(3)=1.3,即,g,(4)=,-,0.8,0.5,4,+1.4,=1.35,(,万件,),而,4,月份的产量为,1.37,万件,故由,比较可知,用 y=abx+c 作为模拟函数较好.,解得:,a,=,-,0.8,b,=0.5,c,=1.4,g,(,x,)=,-,0.8,0.5,x,+1.4.,例2 一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元,卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同.问该摊主每天从报社买进多少份,才能使每月获得的利润最大?并计算该摊主一个月最多可赚得多少元.,解:,设每天从报社买进,x,份(250,x,400),那么每月共销售(20 x+10250)份,又卖出的报纸每份获利,0.10,元,退回的每份亏损,0.12,元,退回报社,10(,x,-,250),份,依题意,每月获得的利润,f,(,x,)=0.10(20,x,+10,250),-,0.12,1,0(,x,-,250),=0.8,x,+550.,f,(,x,),在,250,400,上是增函数,当,x,=400,时,f,(,x,),取得最大值,最大值为,870.,答:该摊主每天从报社买进,400,份时,才能使每月获得的利润最大,一个月最多可赚,870,元.,例3 某村方案建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜温室,在温室内,沿左右两侧与后侧内墙各保存 1m 宽的通道,沿前侧内墙保存 3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?,解:,设矩形温室的左侧边长为,a,m,后侧边长为,b,m,那么 ab=800,蔬菜的种植面积,S=(,a,-,4)(,b,-,2)=,ab,-,4,b,-,2,a,+8,=808,-,2(,a,+2,b,).,=648.,仅当,a,=2,b,即,a,=40,b,=20,时取等号.,故,当,a,=40(m),b,=20(m),时,y,max,=648(m,2,).,S,808,-,4 2,ab,答:当矩形温室的左侧边长为,40,m,后侧边长为,20,m,时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为,648,m,2,.,解:,依题意得:,于是框架用料长度,故,当,x,约为,2.343,m,y,约为,2.828,m,时,用料最省.,xy,+,x,=8,1,2,x,2,y,=,-(,0,x,4 2,),.,8,x,x,4,L=2,x,+2,y,+2(),2,x,2,=(,+2),x,+,3,2,x,16,4,6+4,2.,仅当,(,+2),x,=即,x,=8,-,4 2,时,取等号.,3,2,x,16,此时,x,2.343,y,=2 2,2.828.,例4 某单位用木料制作如下图的框架,框架的下部是边长分别为 x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8m2.问 x,y 分别为多少 (精确到 0.001 m)时 用料最省?,x,y,例5,某租赁公司拥有汽车,100,辆,当每辆车的月租金为,3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加,50,元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费,150,元,未租出的车每辆每月需要维护费,50,元.(1)当每月每辆车的租金定为,3600,元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少?,解:,(1)当每辆车的月租金定为,3600,元时,未租出的车辆数为:,(3600,-,3000),50=12,那么租赁公司的月收益,(2)设每辆车的月租金定为,x,(,x,=50,k,k,N,*,),元,这时租出了,88,辆车.,f,(,x,)=(100,-,)(,x,-,150),-,50,x,-,3000,50,x,-,3000,50,=,-,+162,x,-,2100,x,2,50,=,-,(,x,-,4050),2,+307050.,1,50,当,x,=4050,时,f,(,x,),取最大值,307050.,即当,每辆车的月租金定为,4050,元,时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是,307050,元.,例6 上因特网的费用由两局部组成:费和上网费,以前某“热线上因特网的费用为 费 0.12 元/3 分钟,上网费 0.12 元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求,自 1999 年 3 月1日起,该地区上因特网的费用调整为 费 0.16 元/3 分钟,上网费每月不超过 60 小时,以 4 元/小时计算,超过 60 小时局部,以 8 元/小时计算.(1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按30天计算);(2)假设某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网 60 小时的费用开支,因特网资费调整后,假设要不超过其家庭经济预算中上网费的支出,该网民现在每月可上网多少小时?从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况.,解:,设调整后上网,x,小时的费用为,f,(,x,),元,(1)当,060,时,f,(,x,)=4,60+0.16,20,x,+(,x,-,60),8,=11.2,x,-,240.,f,(,x,)=,7.2,x,(060).,当,0,x,60,时,f,(,x,)60,时,由,f,(,x,)=,g,(,x,),得:,x,=150.,又,当,60,x,150,时,f,(,x,)150,时,f,(,x,),g,(,x,).,故上网时间小于,150,小时,调整前的上网费用高;,上网,150,小时,调整前后的费用一样高;,上网时间超过,150,小时,调整后的上网费用高.,例7 某地区上年度电价为 0.8 元/kwh,年用电量为 a kwh,本年度方案将电价降到 0.55 元/kwh 至 0.75 元/kwh 之间,而用户期望电价为 0.4 元/kwh.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力的本钱价为 0.3 元/kwh.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式;(2)设 k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注:收益=实际用电量(实际电价-本钱价).,解:,(1)依题意,0.55,x,0.75,本年度用电量为:,a,+,下调电价后新增用电量为:,x,-,0.4,k,.,x,-,0.4,k,依题意得:,y,=(,a,+,)(,x,-,0.3),x,-,0.4,k,故所求函数关系式为:,y,=(,a,+,)(,x,-,0.3),0.55,x,0.75.,x,-,0.4,k,(2)当,k,=0.2,a,时,y,=(,a,+,)(,x,-,0.3),x,-,0.4,0.2,a,依题意(,a,+,)(,x,-,0.3),0.5,a,(1+20%),x,-,0.4,0.2,a,整理得:10,x,2,-,11,x,+3,0.,解得:,x,0.5,或,x,0.6.,0.55,x,0.75,0.6,x,0.75,最低电价应定为,0.6元/kw,h.,例8 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入本钱为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,方案提高产品档次,适度增加投入本钱.假设每辆车投入本钱增加的比例为 x(0 x1),那么出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x,年利润=(出厂价-投入本钱)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入本钱增加的比例 x 的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入本钱增加的比例 x 应在什么范围内?,解:,(1)依题意得:,y,=1.2,(1+0.75,x,),-,1,(1+,x,),1000(1+0.6,x,),整理得:,y,=,-,60,x,2,+20,x,+200(0,x,0,0,x,0,0,x,1,即,解得:0,x,.,1,3,故投入成本增加的比例,x,应满足,0,x,.,1,3,此即为所求关系式.,例9 甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,汽车每小时的运输本钱(以元为单位)由可变局部和固定局部组成:可变局部与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 b,固定局部为 a 元.(1)把全程运输本钱 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输本钱最小,汽车应以多大速度行驶?,解:,(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地用时,小时,s,v,其中 0,bc,2,因而,a,-,bcv,a,-,bc,2,0.,也即当 v=c 时,全程运输本钱 y 最小.,综上所述,为使全程
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