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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微积分学的创始人:,德国数学家,Leibniz,微分学,导数,描述函数变化,快慢,微分,描述函数变化,程度,都是描述物质运动的工具,(从,微观上,研究函数),导数思想,最早由法国,数学家,Ferma,在研究,极值问题中提出.,英国数学家,Newton,第三章 导数与微分,1,微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数描,3.1 导数的概念,第三章 导数与微分,3.2 求导法则,3.3 基本导数公式与高阶导数,3.4 函数的微分,3.5 导数在经济学中的简单应用,2,3.1 导数的概念第三章 导数与微分3.2 求导法则3,3.1 导数的概念,一、导数产生的背景,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,四、单侧导数,3,3.1 导数的概念一、导数产生的背景二、导数的定义三、导数的,一、导数产生的背景,变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的,平均速度,为,而在 时刻的,瞬时速度,为,自由落体运动,物理背景,4,一、导数产生的背景变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数,平面曲线上切线的概念,割线,MQ,切线,MT,切点,曲线的切线斜率,数学背景,5,平面曲线上切线的概念割线MQ切线MT切点曲线的切线斜率数学,曲线,在,M,点处的切线,割线,M N,的极限位置,M T,(当 时),割线,M N,的斜率,切线,MT,的斜率,6,曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当,瞬时速度,切线斜率,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限.,共性？,7,瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.共,二、导数的定义,8,二、导数的定义8,由定义求导数（,三步法,）,9,由定义求导数（三步法）9,10,10,k,0,为常数.,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,处可导,反之是否成立？,不成立！,11,k 0为常数.如果函数 f(x)在点 x0 处可导,导数的几何意义,12,导数的几何意义12,x,轴,、或,不存在,反映出点,x,0,处的,导数值也是,三种情况,。,y,O,x,x,0,y=c,f,(,x,0,)=0,y,O,x,f,(,x,0,)=,x,0,O,x,y,x,0,y,O,x,x,0,f,(,x,0,),不存在,f,(,x,0,),不存在,切线平行于,x,轴：,切线垂直于,x,轴：,无切线,：,无切线,：,曲线,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的切线可能,平行于,x,轴,、,垂直,于,13,x 轴、或不存在,反映出点 x0 处的导数值也是三种情况,瞬时速度,切线斜率,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,14,瞬时速度切线斜率类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速,15,15,先求导、后代值！,16,先求导、后代值！16,解:,即,通常说成：,常数的导数为零.,17,解:即 通常说成：常数的导数为零.17,练习,求函数,的导数.,解:,即,类似可证得,和差化积,等价无穷小,或重要极限,18,练习 求函数的导数.解:即类似可证得和差化积,等价无穷小代换,解:,19,等价无穷小代换解:19,例如，,20,例如，20,解:,等价无穷小代换,21,解:等价无穷小代换21,等价无穷小替代,故,解:,22,等价无穷小替代故解:22,23,23,三、导数的几何意义,曲线,在点,的切线斜率为,24,三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为24,解:,即,故点(3,9)的切线方程为：,即,点(3,9)的法线方程为：,25,解:即故点(3,9)的切线方程为：即点(3,9),解:,26,解:26,四、单侧导数,27,四、单侧导数27,连续不一定可导！,判断可导性:,用导数定义！,28,连续不一定可导！判断可导性:用导数定义！28,解,29,解29,逆否命题是？,五、函数的可导性与连续性的关系,可导必连续！,30,逆否命题是？五、函数的可导性与连续性的关系可导必连续！30,解,31,解31,f,(,x,),在,x,=0 处,可导,从而,f,(,x,)=,1+,bx,x,0,e,x,x,0,f,(0)=1,f,(,x,),在,x,=0 处,连续,f,(0)=,a.,设,a,+,bx,x,0,求,a,b,之值.,e,x,x,0,y,=,在,x,=0,可导,例11.,解:,32,f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x),由可导性：,故,b,=1,此时函数为,f,(,x,)=,1,x,x,0,e,x,x,0,33,由可导性：故 b=1,此时函数为f(x),34,34,求,解:方法1,利用导数定义.,方法2,利用求导公式.,练习1,设,35,求解:方法1 利用导数定义.方法2 利用求导公,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,36,内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必,
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