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,考纲要求,-,*,-,知识梳理,-,*,-,双击自测,-,*,-,核心考点,-,*,-,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,2.3,函数的奇偶性与周期性,2.3函数的奇偶性与周期性,考纲要求,:1,.,了解函数奇偶性的含义,.,2,.,会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性,.,3,.,了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性,.,2,考纲要求:1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解,1,.,函数的奇偶性,(1),奇函数,:,图像关于原点对称的函数叫作奇函数,即对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,都有,f,(,-x,),=,-f,(,x,),;,(2),偶函数,:,图像关于,y,轴对称的函数叫作偶函数,即对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,都有,f,(,-x,),=,f,(,x,),.,2,.,奇,(,偶,),函数的性质,(1),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,相反,(,填,“,相同,”,或,“,相反,”),.,(2),在公共定义域内,两个奇函数的和函数是,奇函数,两个奇函数的积函数是,偶函数,.,两个偶函数的和函数、积函数是,偶函数,.,一个奇函数,一个偶函数的积函数是,奇函数,.,(3),若函数,f,(,x,),是奇函数且在,x=,0,处有定义,则,f,(0),=,0,.,3,1.函数的奇偶性3,3,.,周期性,(1),周期函数,:,对于函数,y=f,(,x,),如果存在非零常数,T,对定义域内的任意一个,x,值,都有,f,(,x+T,),=,f,(,x,),就把,f,(,x,),称为周期函数,称,T,为这个函数的周期,.,(2),最小正周期,:,如果在周期函数,f,(,x,),的所有周期中,存在一个最小,的正数,那么这个最小正数就叫作,f,(,x,),的最小正周期,.,4,3.周期性4,4,.,函数周期性三个常用结论,对,f,(,x,),定义域内任一自变量的值,x,(1),若,f,(,x+a,),=-f,(,x,),则,T=,2,a,;,5,4.函数周期性三个常用结论5,2,3,4,1,5,1,.,下列结论正确的打,“,”,错误的打,“,”,.,(1)“,a+b=,0”,是,“,函数,f,(,x,),在区间,a,b,(,a,b,),上具有奇偶性,”,的必要条件,.,(,),(2),偶函数,图像,不一定过原点,奇函数的,图像,一定过原点,.,(,),(3),若函数,y=f,(,x+a,),是偶函数,则函数,y=f,(,x,),的,图像,关于直线,x=a,对称,;,若函数,y=f,(,x+b,),是奇函数,则函数,y=f,(,x,),的,图像,关于点,(,b,0),中心对称,.,(,),(4),如果函数,f,(,x,),g,(,x,),为定义域相同的偶函数,则,F,(,x,),=f,(,x,),+g,(,x,),是偶函数,.,(,),(5),已知函数,y=f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数,若在,(,-,0),上是,减少的,则在,(0,+,),上是,增加的,.,(,),(6),若,T,为,y=f,(,x,),的一个周期,则,nT,(,n,Z,),是函数,f,(,x,),的周期,.,(,),6,234151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.,2,3,4,1,5,2,.,(2015,福建,文,3),下列函数为奇函数的是,(,),A.,y=,B.,y=,e,x,C.,y=,cos,x,D.,y=,e,x,-,e,-x,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,7,234152.(2015福建,文3)下列函数为奇函数的是(,2,3,4,1,5,3,.,已知,f,(,x,),是奇函数,g,(,x,),是偶函数,且,f,(,-,1),+g,(1),=,2,f,(1),+g,(,-,1),=,4,则,g,(1),等于,(,),A,.,4B,.,3C,.,2D,.,1,答案,解析,解析,关闭,f,(,x,),是奇函数,g,(,x,),是偶函数,f,(,-,1),+g,(1),=,2,即,-f,(1),+g,(1),=,2,.,f,(1),+g,(,-,1),=,4,即,f,(1),+g,(1),=,4,.,由,解得,g,(1),=,3,故选,B,.,答案,解析,关闭,B,8,234153.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(,2,3,4,1,5,4,.,已知函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,当,x,0,时,f,(,x,),=x,(1,+x,),则,x,0,时,f,(,x,),=,.,答案,解析,解析,关闭,当,x,0,f,(,-x,),=,(,-x,)(1,-x,),.,又,f,(,x,),为奇函数,f,(,-x,),=-f,(,x,),=,(,-x,)(1,-x,),f,(,x,),=x,(1,-x,),.,答案,解析,关闭,x,(1,-x,),9,234154.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,2,3,4,1,5,5,.,设,f,(,x,),是定义在,R,上的周期为,2,的函数,当,x,-,1,1),时,则,=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,10,234155.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x,2,3,4,1,5,自测点评,1,.,判断函数的奇偶性应首先考察函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,则该函数为非奇非偶函数,.,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件,.,2,.,若函数,f,(,x,),为奇函数,且在,x=,0,处有定义,则有,f,(0),=,0,.,3,.,根据周期函数的定义,函数的周期应是一个非零常数,.,11,23415自测点评11,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,1,函数的奇偶性的判断,例,1,(1),设函数,f,(,x,),g,(,x,),的定义域都为,R,且,f,(,x,),是奇函数,g,(,x,),是偶函数,则下列结论中正确的是,(,),A,.f,(,x,),g,(,x,),是偶函数,B,.|f,(,x,),|g,(,x,),是奇函数,C,.f,(,x,),|g,(,x,),|,是奇函数,D,.|f,(,x,),g,(,x,),|,是奇函数,答案,解析,解析,关闭,由题意,知,f,(,-x,),=-f,(,x,),g,(,-x,),=g,(,x,),对于,A,选项,f,(,-x,),g,(,-x,),=-f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),为奇函数,故,A,错误,;,对于,B,选项,|f,(,-x,),|g,(,-x,),=|f,(,x,),|g,(,x,),|f,(,x,),|g,(,x,),为偶函数,故,B,错误,;,对于,C,选项,f,(,-x,),|g,(,-x,),|=-f,(,x,),|g,(,x,),|,f,(,x,),|g,(,x,),|,为奇函数,故,C,正确,;,对于,D,选项,|f,(,-x,),g,(,-x,),|=|f,(,x,),g,(,x,),|,|f,(,x,),g,(,x,),|,是偶函数,故,D,错误,.,答案,解析,关闭,C,12,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点1函数的奇偶性的,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2)(2015,广东,文,3),下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是,(),答案,解析,解析,关闭,A,为奇函数,B,和,C,为偶函数,D,既不是奇函数,也不是偶函数,.,答案,解析,关闭,D,13,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混 (2)(20,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,判断函数的奇偶性要注意什么,?,解题心得,:,判断函数的奇偶性要注意两点,:,(1),定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提,.,(2),判断,f,(,x,),与,f,(,-x,),是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式,(,f,(,x,),+f,(,-x,),=,0(,奇函数,),或,f,(,x,),-f,(,-x,),=,0(,偶函数,),是否成立,.,14,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:判断函数的奇偶,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,1,(2015,北京,文,3),下列函数中为偶函数的是,(),A,.y=x,2,sin,x,B,.y=x,2,cos,x,C,.y=|,ln,x|,D,.y=,2,-x,答案,解析,解析,关闭,根据偶函数的定义,f,(,-x,),=f,(,x,),A,选项为奇函数,B,选项为偶函数,C,选项定义域为,(0,+,),不具有奇偶性,D,选项既不是奇函数也不是偶函数,.,故选,B,.,答案,解析,关闭,B,15,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练1(201,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,2,函数奇偶性的应用,例,2,(1),已知,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,当,x,0,时,f,(,x,),=x,2,-,3,x,则函数,g,(,x,),=f,(,x,),-x+,3,的零点的集合为,(,),A,.,1,3B,.,-,3,-,1,1,3,C,.,2,-,1,3D,.,-,2,-,1,3,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,16,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点2函数奇偶性的应,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),若函数,f,(,x,),=x,ln(,x+,),为偶函数,则,a=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,17,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)若函数f(x),考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(3),设函数,的最大值为,M,最小值为,m,则,M+m=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,18,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混 答案解析解析关闭,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(4),定义在,-,2,2,上的偶函数,g,(,x,),当,x,0,时,g,(,x,),单调递减,若,g,(1,-m,),g,(,m,),求,m,的取值范围,.,答案,答案,关闭,19,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(4)定义在-2,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,函数的奇偶性有哪几个方面的应用,?,解题心得,:,1,.,函数奇偶性的应用主要有,:,利用函数奇偶性求函数解析式,;,利用函数的奇偶性研究函数的单调性,;,利用函数的奇偶性解不等式,;,利用函数的奇偶性求最值等,.,2,.,已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于,f,(,x,),的方程,从而可得,f,(,x,),的解析式,.,20,考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:函数的奇偶性有,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,2,(1),已知,f,(,x,),g,(,x,),分别是定义在,R,上的偶函数和奇函数,且,f,(,x,),-g,(,x,),=x,3,+x,2,+,1,则,f,(1),+g,(1),等于,(,),A,.-,3B,.-,1C,.,1D,.,3,答案,解析,解析,关闭,由,f,(,x,),与,g,(,x,),分别是定义在,R,上的偶函数和奇函数,知,f,(,-,1),=f,(1),g,(,-,1),=-g,(1),.,又由,f,(,x,),-g,(,x,),=x,3,+x,2,+,1,令,x=-,1,得,f,(,-,1),-g,(,-,1),=,(,-,
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