弹性力学第三章直角坐标解答

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Northeastern university,第三章 平面问题的直角坐标解答,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1逆解法与半逆解法 多项式解答,3-2矩形梁的纯弯曲,3-3位移分量的求出,3-4简支梁受均布载荷,3-5楔xie形体受重力和液体压力,3-1,逆解法,与半逆解法,多项式解答,逆解法的根本思路：,（1）设定各种形式的应力函数 ，要求：满足相容方程,（2-25）,（2）,由（2-24）式求得应力分量,（2-24）,（3）,由应力边界条件（2-15）式和弹性体的边界形状找到应力分量对应的面力，,从而得知所选取的应力函数 可以解决的问题。,3-1逆解法与,半逆解法,多项式解答,半逆解法的根本思路：,1针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设局部或全部应力分量的函数形式；,2推出应力函数的形式；,3代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；,4再按2-24式由应力函数求得应力分量；,5考查应力分量是否满足全部边界条件多连体还要满足位移单值；,6满足是问题的解，不满足重新假设求解。,3-1,逆解法,与半逆解法,多项式解答,例1,考察是否满足相容方程2-25，满足!,2由2-24式求得应力分量,3根据应力边界条件,1线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的状态；,2把平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。,（1）设：,（体力不计）,3-1,逆解法,与半逆解法,多项式解答,例2,考察是否满足相容方程2-25，满足!,2由2-24式求得应力分量,（1）设：,（体力不计）,3根据应力边界条件，在上下边界上分别,受到向上和向下的均布面力2a。,3-1,逆解法,与半逆解法,多项式解答,例3,考察是否满足相容方程2-25，满足!,2由2-24式求得应力分量,（1）设：,（体力不计）,3根据应力边界条件，在左右两边分别,有向下和向上的均布面力；在上下两,边分别有向右和向左的均布面力。,3-1,逆解法,与半逆解法,多项式解答,例4,考察是否满足相容方程2-25，满足!,2由2-24式求得应力分量,（1）设：,（体力不计）,3根据应力边界条件，在左右边界上分别,受到向左和向右的均布面力2c。,注：当 时，面力分布就是以上三种情况的组合。,3-1,逆解法,与半逆解法,多项式解答,例5,考察是否满足相容方程2-25，满足!,2由2-24式求得应力分量,（1）设：,（体力不计）,3根据应力边界条件,可见，应力函数 可以解决矩形梁受纯弯曲的问题。,32,矩形梁的纯弯曲,32,矩形梁的纯弯曲,1材料力学怎么解矩形梁纯弯曲问题？,1给出平截面假定和单项受力假设。,2）几何方面：,3）物理方面：,4）静力学方面：,5）挠曲线的近似微分方程：,32,矩形梁的纯弯曲,2弹性力学怎么解决矩形梁的纯弯曲问题？,上节讨论了，应力函数 可以解决矩形梁受纯弯曲的问题。,利用边界条件确定常数a,问题,应力分量能否满足边界条件？,怎样导出应力分量？,（即怎样确定常数a？）,怎样导出位移分量？,32,矩形梁的纯弯曲,检验能否满足边界条件,及,利用边界条件确定常数a,（1）上下两个主要边界：,满足,（2）左右两个次要边界切应力：,满足,3左右两个次要边界正应力：,引入圣维南原理,前式自动满足，后式导出,32,矩形梁的纯弯曲,因此，应力分量为：,讨论,：,1弹性力学的解和材料力学的解完全一致；,2只有在纯弯曲的情况下，解才是完全精确的；,3两端的面力按其它分布时，根据圣维南原理，在梁两端附近时,有显著误差，在离开梁较远处，误差可以忽略不计。,问题：怎样导出,位移分量,？,33位移分量的求出,33位移分量的求出,问题：知道应力分量，怎么求出位移分量？、,根本思路：,1把应力分量带入物理方程2-12求得应变分量；,2把应变分量带入几何方程2-8得到用应变分量表示的位移方程组；,3求解偏微分方程组，根据位移边界条件确定积分常数。,33位移分量的求出,1把应力分量带入物理方程2-12求得应变分量；,2把应变分量带入几何方程2-8得到用应变分量表示的位移方程组；,前两式积分,（b）,（a）,（c）,33位移分量的求出,把c带入b的最后一式,用别离变量法,位移分量：,其中：是表示刚体位移的常量，可由位移约束条件求出。,（d）,33位移分量的求出,例1：两边简支梁如图,位移边界条件,（d）,把位移边界条件带入d,简支梁的位移分量：,（3-3）,令 简支梁的挠度方程,33位移分量的求出,例2：悬臂梁如图,位移边界条件近似,把位移边界条件带入d，求得,悬臂梁的位移分量：,梁轴线的挠度方程,（34）,33位移分量的求出,小结：,d,（1）弹性力学验证了材料力学的,平截面假定,是正确的；,铅直线段的转角,（2）梁纵向纤维的,曲率,和材料力学完全相同；,3相对于材料力学而言，弹性力学的位移分量更全面的表,示了梁的变形情况；,（4）对于平面应变情况，只要 。,34简支梁受均布载荷,图 35,I材料力学怎样解决简支梁受均布,载荷的问题？可以求解那些量？,3-4 简支梁受均布载荷,1求内力,3求挠度,2求应力,3-4 简支梁受均布载荷,2半逆解法怎样求解这个问题？,半逆解法的根本思路：,1针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设局部或全部应力分量的函数形式；,2推出应力函数的形式；,3代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；,4再按2-24式由应力函数求得应力分量；,5考查应力分量是否满足全部边界条件多连体还要满足位移单值；,6满足是问题的解，不满足重新假设求解。,图 35,3-4 简支梁受均布载荷,1假设应力分量的函数形式,2根据应力分量导出应力函数的表达式,将 带入（224）式,（b）,3由相容方程求解应力函数将b带入相容方程,3-4 简支梁受均布载荷,4由应力函数求解应力分量,（e）,（f）,（g）,（h）,5考察边界条件包括对称性求解待定常数,a对称性,b主要边界条件必需全部精确满足,3-4 简支梁受均布载荷,将边界条件代入g和h,将求得的常数代入,（i）,（k）,（j）,3-4 简支梁受均布载荷,c次要边界条件可以在圣维南意义上满足,考察梁的右端：当 时，在y定义域内 ,都有 。,这不可能精确满足，利用圣维南原理：,主矢量：,（l）,主矩：,（m）,（n）,考察梁右端切应力是否满足边界条件,满足，,由对称性，左端也满足边界条件,3-4 简支梁受均布载荷,6所以以下应力分量就是该问题的解,（o）,3讨论,对于浅梁，：,正（弯）应力 与 同阶，为主要应力；,切应力 与 同阶，为次要应力；,正（挤压）应力 与 阶，为更次要应力；,3-4 简支梁受均布载荷,3讨论与材力结果比较,图 35,取宽度为1，,惯性矩：,静矩：,内力,弹性力学结果,材料力学结果,3-4 简支梁受均布载荷,3讨论与材力结果比较,3-5 楔形体受重力和液体压力,3-5 楔形体受重力和液体压力,问题：楔形体下端无线长，受重力和液体压力，试用,半逆解法,求解,求应力分量,图37,3-5 楔形体受重力和液体压力,半逆解法的根本思路：,1针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设局部或全部应力分量的函数形式；,2推出应力函数的形式；,3代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；,4再按2-24式由应力函数求得应力分量；,5考查应力分量是否满足全部边界条件多连体还要满足位移单值；,6满足是问题的解，不满足重新假设求解。,3-5 楔形体受重力和液体压力,1假设应力分量的函数形式,根据量纲分析法参考书：?相似原理?应力分量只可能是：,四种项的组合,2根据应力分量给出应力函数的表达形式,3验证是否满足相容方程 满足,3-5 楔形体受重力和液体压力,4由应力函数求解应力分量，由224式求得应力分量,（a）,5考察应力分量能否满足边界条件选择适宜的参数,（a）左边 时，应力边界条件,3-5 楔形体受重力和液体压力,b右边斜边界的边界条件,（215）,边界线方程：；面力：,方向余弦：,把应力表达式a带入，求得参数b和a,3-5 楔形体受重力和液体压力,代入a式,应力解答李维 M.Levy解,3-5 楔形体受重力和液体压力,结果讨论,对应于实际生活：三角形重力坝受水压。,1三角形重力坝受水压，不是一个严格的平面问题；,2由于重力坝底部受地基约束，因此，底部解答精确度不高；,3坝顶有一定宽度，因此，顶部解答也不精确；,4较为精确的应力分析是采用有限元来做的。,本章作业,要交的作业：3-3；3-4；3-5；3-8；3-9；3-10,课后思考题：3-1；3-12：3-13；3-15,多连体,1如果，在一个空间区域中的任何两点都可以用全属于此区域的曲线,连接起来，那么称此区域是连通的；,2又如果对这个区域内的任何闭曲面都可以不经过区域外的点而连续,收缩为一点，那么称此空间区域是二维单连通的；,3如果对于这个区域内的任何闭曲线都可不经过区域外的点而连续收,缩为一点，那么称此空间区域为一维单连通的；,例如：球的内部区域是二维单连通的；两个同心球之间的区域是一维单,连通的，但不是二维单连通的；圆环的内部区域既非二维单连通也非一,维单连通的。,多连体,讲作业216位移单值条件,要说明能满足位移单值条件，根据提示，求出位移的表达式，,只要说明该表达式连续即可。求出的位移表达式是一个二元一次,的函数，显然连续。,保守场与势函数,保守场,：曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿路径无关保守场,一个向量场 为空间保守场的充分必要条件：,即：,保守场又称为无旋场,定义函数：,或：,这时，称 是一个势场（位场）；称 为向量场 的,势函数,