空间向量法解决立体几何证明课件

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,利用空间向量解决立体几何问题数学专题二,1,复习,:,2.,向量的夹角,:,O,A,B,向量 的夹角记作,:,1.,空间向量的数量积,:,复习:2.向量的夹角:OAB向量 的夹角记,2,4.,向量的模长,:,3.,有关性质,:,两非零向量,4.向量的模长:3.有关性质:两非零向量,3,5.,共面向量定理,:,如果两个向量,不共线,则向量 与向量 共面的充要,条件是存在实数对 使,5.共面向量定理:如果两个向量,4,空间四点,P,、,M,、,A,、,B,共面,实数对,推论,:,实数对推论:,5,一,.,引入两个重要的空间向量,1.,直线的方向向量 把,与直线平行的向量都称为,直线的方向向量,.,如图,在空间直角坐标系中,由,A,(,x,1,y,1,z,1,),与,B,(,x,2,y,2,z,2,),确定的直线,AB,的方向向量,是,z,x,y,A,B,一.引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量,6,2.,平面的法向量,与平面,垂直的向量叫做平面,的,法向量,.,n,2.平面的法向量与平面垂直的向量叫做平面的法向量.n,7,o,x,y,z,A,B,C,O1,A1,B1,C1,例,1.,如图所示,正方体的棱长为,1,直线,OA,的一个方向向量坐标为,_,平面,OABC,的一个法向量坐标为,_,平面,AB,1,C,的一个法向量坐标为,_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的,8,空间向量法解决立体几何证明课件,9,空间向量法解决立体几何证明课件,10,练习,:,在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是面,AC,的中心,求面,OA,1,D,1,的法向量,.,A,A,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面,11,解:以,A,为原点建立空间直角坐标系,O-xyz,设平面,OA,1,D,1,的法向量的法向量为,n=(x,y,z),那么,O(1,,,1,,,0),,,A,1,(0,,,0,,,2),,,D,1,(0,,,2,,,2),得平面,OA,1,D,1,的法向量的坐标,n=(2,0,1).,取,z=1,解得,:,得,:,由,=,(,-1,,,-1,,,2,),,=,(,-1,,,1,,,2,),解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,得平面OA1D1,12,练习 如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是,正方形,侧棱,PD,底面,ABCD,,,PD=DC=1,E,是,PC,的中点,求平面,EDB,的一个法向量,.,A,B,C,D,P,E,解:如图所示建立空间直角坐标系,.,X,Y,Z,设平面,EDB,的法向量为,练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD,13,二、立体几何中的向量方法,平行关系,二、立体几何中的向量方法,14,m,l,一,.,平行关系:,ml一.平行关系:,15,16,17,二、垂直关系:,l,m,二、垂直关系:lm,18,l,A,B,C,lABC,19,20,例,1,四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是正方,形,PD,底面,ABCD,,,PD=DC=6,E,是,PB,的,中点,,DF:FB=CG:GP=1:2.,求证:,AE/FG.,A,B,C,D,P,G,X,Y,Z,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证:如图所示,建立,空间直角坐标系,.,/,AE,与,FG,不共线,几何法呢?,例1 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正,21,例,2,四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是正,方形,,PD,底面,ABCD,,,PD=DC,E,是,PC,的,中点,求证:,PA/,平面,EDB.,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,解,1,立体几何法,例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正A,22,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,解,2,:如图所示建立空间直角坐标系,点,D,为坐标原点,设,DC=1,证明:,设平面,EDB,的法向量为,ABCDPEXYZ解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐,23,练 如图,已知矩形,和矩形,所在平面相交于,AD,,点,分别在对角线,上,且,求证:,A,B,C,E,F,D,M,N,练 如图,已知矩形和矩形所在平面相交于AD,点分别在对角线,24,练 如图,已知矩形,和矩形,所在平面相交于,AD,,点,分别在对角线,上,且,求证:,A,B,C,E,F,D,M,N,几何法呢?,练 如图,已知矩形和矩形所在平面相交于AD,点分别在对角线,25,练 如图,已知矩形,和矩形,所在平面相交于,AD,,点,分别在对角线,上,且,求证:,A,B,C,E,F,D,M,N,几何法呢?,练 如图,已知矩形和矩形所在平面相交于AD,点分别在对角线,26,练习,棱长为,a,的正方体 中,E,、,F,分别是棱,AB,OA,上的动点,且,AF=BE,求证:,O,C,B,A,O,A,B,C,E,F,Z,x,y,解:如图所示建立空间,直角坐标系,设,AF=BE=b.,练习 棱长为a 的正方体,27,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,证,1,:如图所示建立,空间直角坐标系,设,DC=1.,ABCDPEFXYZ 证1:如图所示建立,28,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,证,2,:,ABCDPEFXYZ 证2:,29,E,是,AA,1,中点,,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,证明:,E,求证:,平面,EBD,设正方体棱长为,2,建立如图所示坐标系,平面,C,1,BD,的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面,EBD,的一个法向量是,平面,C,1,BD.,平面,EBD,E是AA1中点,例3 正方体平面C1BD.,30,证明,2,:,E,E,是,AA,1,中点,,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,求证:,平面,EBD,证明2:E,E是AA1中点,例3 正方体,31,A,B,C,D,P,X,Y,Z,G,ABCDPXYZG,32,例,4,棱长都等于,2,的正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,D,E,分别是,AC,CC,1,的中点,求证,:,(1)A,1,E,平面,DBC,1,;,(2)AB,1,平面,DBC,1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1,33,解:以,D,为原点,,DA,为,x,轴,,DB,为,y,轴建立空间直角坐标系,D-xyz.,则,A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A,1,(-1,0,2),B,1,(0,2),C,1,(1,0,2).,设平面,DBC,1,的法向量为,n,=(x,y,z),则,解之得 ,,取,z=1,得,n,=(-2,0,1),(1),=-n,从而,A,1,E,平面,DBC,1,(2),而,n=,-2+0+2=0,AB,1,平面,DBC,1,解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴建立空间直角坐标系D-,34,
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