简单的线性规划整点最优解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,x,y,o,简单的线性规划（3）,线性规划的简单应用,使z=2x+y取得,最大值,的可行解为,，,且最大值为,；,复习引入,1.已知二元一次不等式组,x-y0,x+y-10,y-1,（1）画出不等式组所表示的平面区域；,满足,的,解(x,y),都叫做,可行解,；,z=2x+y,叫做,；,（2）设,z=2x+y,，则式中变量,x,y,满足的二元一次不等式组叫做,x,y,的,；,y=-1,x-y=0,x+y=1,2x+y=0,返回,(-1,-1),(2,-1),使z=2x+y取得,最小值,的可行解,，,且最小值为,；,这两个,最值,都叫做问题的,。,线性约束条件,线性目标函数,线性约束条件,(2,-1),(-1,-1),3,-3,最优解,x,y,0,1,1,例题分析,例1:,某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产,甲,种产品1t需消耗,A,种矿石10t、,B,种矿石5t、煤4t；生产,乙,种产品1吨需消耗,A,种矿石4t、,B,种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?,甲产品,（1t）,乙产品,（1t）,资源限额,（t）,A种矿石（t）,B种矿石（t）,煤（t）,利润（元）,产品,消耗量,资源,列表,：,5,10,4,600,4,4,9,1000,300,200,360,设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元,例题分析,甲产品,（1t）,乙产品,（1t）,资源限额,（t）,A种矿石（t）,B种矿石（t）,煤（t）,利润（元）,产品,消耗量,资源,列表,：,5,10,4,600,4,4,9,1000,300,200,360,把题中限制条件进行,转化：,约束条件,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,目标函数：,设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元,xt,yt,例题分析,解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为,z=600 x+1000y.,元,那么,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,作出以上不等式组所表示的可行域,作出一组平行直线,600 x+1000y=t,，,解得交点M的坐标为,(12.4,34.4),5x+4y=200,4x+9y=360,由,10 x+4y=300,5x+4y=200,4x+9y=360,600 x+1000y=0,M,答:,应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。,(12.4,34.4),经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.,90,30,0,x,y,10,20,10,75,40,50,40,此时,z=600 x+1000y,取得最大值.,例题分析,例2,要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示,：,解：,设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,规格类型,钢板类型,第一种钢板,第二种钢板,A规格,B规格,C规格,2,1,2,1,3,1,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,作出可行域（如图）,目标函数为,z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,X张,y张,例题分析,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN,y0 yN,直线x+y=12经过的,整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出一组平行直线,z=x+y，,目标函数,z=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),当直线经过点A时,z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标,B(3,9,)和,C(4,8),调整优值法,2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线,x+y=12,答（略）,例题分析,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN,*,y0 yN,*,经过可行域内的整点,B(3,9)和C(4,8),时，t=,x+y=12,是最优解.,答:(略),作出一组平行直线,t,=,x+y,，,目标函数,t,=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时,t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,，,将直线x+y=11.4继续向上平移,，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,不等式组 表示的平面区域内的,整数点,共有（）个,巩固练习1:,1 2 3 4 x,y,4,3,2,1,0,4x+3y=12,在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：,1,.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）,2.,若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。,3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解,解线性规划应用问题的一般步骤,：,2）设好变元并列出不等式组和目标函数,3）,由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；,4）,在可行域内求目标函数的最优解,1）理清题意，列出表格：,5)还原成实际问题,(,准确作图，准确计算),咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大,？,解：将已知数据列为下表：,消耗量,资源,甲产品（1 杯）,乙产品(1杯),资源限额（g）,奶粉（g）,9,4,3600,咖啡(g),4,5,2000,糖(g),3,10,3000,利润（元）,0.7,1.2,产品,设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,作出可行域：,目标函数为：z=0.7x+1.2y,作直线l:0.7x+1.2y=0，,把直线l向右上方平移至l,1,的位置时，,直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，,此时z=0.7x+1.2y取最大值,解方程组,得点C的坐标为（200，240）,_,0,_,9,x,+,4,y,=,3600,_,C,(,200,240,),_,4,x,+,5,y,=,2000,_,3,x,+,10,y,=,3000,_,7,x,+,12,y,=,0,_,400,_,400,_,300,_,500,_,1000,_,900,_,0,_,x,_,y,二元一次不等式表示平面区域,直线定界，特殊点定域,简单的线性规划,约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解,应用,求解方法：画、移、求、答,练习巩固,1.某家具厂有方木材90m,3,，木工板600m,3,，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m,3,、木工板2m,3,；生产每个书橱需要方木料0.2m,3,，木工板1m,3,，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,由上表可知：,（1）只生产书桌，用完,木工,板了，可生产书桌 6002=300张,可获利润:80300=24000元,但木料没有用完,（2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱900.2=450 张,可获利润120450=54000元,但,木工,板没有用完,产品,资源,书桌（张）,书橱（张）,资源限额,m,3,方木料,m,3,01,02,90,木工板,m,3,2,1,600,利润,（元）,80,120,分析：,x,y,0,2x+y-600=0,300,600,x+2y-900=0,A(100,400),1.,某家具厂有方木材90m,3,，木工板600m,3,，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m,3,、木工板2m,3,；生产每个书橱需要方木料0.2m,3,，木工板1m,3,，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为,0.1x+0.2y90,2x+y600,x，yN,*,Z=80 x+120y,作出不等式表示的平面区域，,当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80100+120400=56000元,（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；,（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。,将直线z=80 x+120y平移可知：,900,450,求解：,X,y,0,8,4,x=8,y=4,7,6,5,4,3,2,1,3,2,1,x+y=10,4x+5y=30,320 x+504y=0,2.,某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）,解：,设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则,x8,y4,x+y10,x,yN,*,4x+5y30,Z=320 x+504y,作出可行域中的整点，,可行域中的整点（5，2）使Z=320 x+504y取得最小值，且Z,min,=2608元,作出可行域,2.附加练习,深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥，已知生产甲种水泥制品1吨，需矿石4吨，煤3吨；生产乙种水泥制品1吨，需矿石5吨，煤10吨，每1吨甲种水泥制品的利润为7万元，每1吨乙种水泥制品的利润是12万元，工厂在生产这两种水泥制品的计划中，要求消耗的矿石不超过200吨，煤不超过300吨，甲乙两种水泥制品应生产多少，能使利润达到最大值？,