中值定理及其应用PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中值定理与导数的应用,*,中值定理及其应用,中值定理,一、罗尔,(Rolle),定理,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,三、柯西,(Cauchy),中值定理,中值定理的演示,T,与,l,平行,这样的,x,可能有好多,高,了,低,了,到,了,中值定理的演示,一个特殊的例子：假设从,A,点运动到,B,点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。,行走的典型路线如下：,这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为,0.,几何意义是：,在极值点处的切线平行于,AB,的连线或,x,轴,.,中值定理的演示,典型情形的证明思想,结论,:,Rolle,定理,一、罗尔,(Rolle),定理,例如,几何解释,:,证,注意,:,罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的,.,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,.,.,例如,又例如,f,(,x,),满足条件,(2),(3),但不满足条件,(1),在,(0,1),内,例如,:(i),y,=,f,(,x,)=,1 ,x,=1,x,0,1),图,3-1-2,x,y,0,1,1,f,(,x,),在,-1,1,上,满足条件,(1),(3),但不满足条件,(2),当,x,时,f,(,x,)=,1.,x,时,f,(,x,)=1.,x,=0,时,f,(0),不存在,.,(ii),0,x,y,1,1,1,图,3-1-3,y,=,|x,|,(iii),y,=,f,(,x,)=,x,x,1,2,f,(,x,),在,1,2,上满足条件,(1),(2),但不满足条件,(3),在,(1,2),内,f,(,x,)=1.,0,2,1,1,2,x,y,图,3-1-4,y,=,x,例,1,设函数,f,(,x,)=(,x,1)(,x,2)(,x,3),不求导数,试判,断方程,f,x,有几个实根,它们分别在何区间,?,解,:,f,(,x,),在,1,2,上连续,在,(1,2),上可导,且,f,(1)=,f,(2);,由罗尔定理,:,1,使,f,(,1,;,同理,2,注意到,f,(,x,)=0,为二次方程,使,f,(,2,;,它至多有两个实根,故,1,2,是,f,(,x,)=0,的全部实根,.,例,2,证,由介值定理,即为方程的小于,1,的正实根,.,矛盾,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,THANK YOU,SUCCESS,2024/11/16,17,可编辑,T,与,l,平行,中值定理的演示,更广泛情形的证明思想,:,同一点,几何解释,:,证,分析,:,弦,AB,方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意,:,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,.,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理,.,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,微分中值定理,推论,2,证明,推论,1,例,3,证,例,4,证,由上式得,例,5.,设,a,b,0,n,1.,证明,:,令,f,(,x,)=,x,n,显然,f,(,x,),在,b,a,上满足拉格朗日定理条件,证明,:,nb,n,1,(,a,b,),a,n,b,n,na,n,1,(,a,b,),有,f,(,a,),f,(,b,)=,f,(,),(,a,b,)(,b,a,),即,a,n,b,n,=,n,n,1,(,a,b,),又,0,b,1,所以,b,n,1,n,1,a,n,1,n,b,n,1,(,a,b,),n,n,1,(,a,b,),n,a,n,1,(,a,b,),即,nb,n,1,(,a,b,),a,n,b,n,na,n,1,(,a,b,),三、柯西,(Cauchy),中值定理,几何解释,:,证,作辅助函数,例,6,证,分析,:,结论可变形为,四、小结,Rolle,定理,Lagrange,中值定理,Cauchy,中值定理,2,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,1,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中,条件是充分的，但不是必要的,.,3,证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔,定理,.,4,应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明,一些不等式,.,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,.,思考题解答,不满足在闭区间上,连续,的条件；,且,不满足在开区间内,可微,的条件；,以上两个都可说明问题,.,THANK YOU,SUCCESS,2024/11/16,33,可编辑,