随机事件与概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七章 随机事件与概率,一、随机现象和随机试验,(1)必然现象：在一定条件下必然发生的现象。,如：水在正常情况下加热到100摄氏度必然沸腾。,(2)随机现象：带有偶然性的现象，或在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象。,如：抛掷一枚硬币，出现正面朝上或反面朝上都有可能。,注：随机现象具有二重性：外表的偶然性与蕴涵的必然性，偶然性就是它的随机性，必然性是它在大量重复试验中表现出来的统计规律性。概率论就是从数量的角度研究随机现象统计规律性的科学。,(3)研究随机现象，就需要对“具备一定条件时，现象是否发生进行观测的过程，称为随机试验，简称试验。,特点：试验可以在相同条件下重复进行；,每次试验的结果不止一个，而且所有可能的结果都可以确定和罗列出来的；,每次试验的结果都是事先不能确定的。,2、随机事件与概率,(1)在一不定期条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，简称事件，通常用大写字母A、B、C表示。,(2)事件A发生的可能性大小就是事件A的概率。,定义1：假设在不变的一组条件下(即同一试验)，重复进行n次试验，记录到事件A发生的次数为nA，那么nA称为事件A发生的频数，nA/n称为事件A发生的频率。当试验次数n很大时，假设事件A发生的频率。当试验次数n很大时，假设事件A发生的频率na/n稳定地在某一常p附近摆动，并且一般来说，这种摆动的幅度会随着试验次数的增加而逐渐减小，那么称事件A为随机事件，并称数值p为随机事件A在该条件下发生的概率，记作：,PA=P,注：0P(A)1,必然事件：在一定条件下必定发生的事件，用U表示P(U)=1,不可能事件：在一定条件下不会发生的事件，用 表示P()=0,如:盒中有2个白球,3个红球,从盒中随机取出3球,那么“取出的3个球中,含有红球这一事件,就是必然事件;“不含红球的事件即为不可能事件。,二、事件的关系与运算,1、事件的包含与相等,定义2：假设事件A发生，必导致事件B发生，那么称事件A包含于事件B，或称事件B包含事件，记作A B,(1)假设A B,那么事件A发生,事件B必发生;,(2)假设A B且B A,那么称事件A与B相等(或称等价),记作A=B,2、事件的和,定义3 事件“A或B称为事件A与事件B的和事件，记作A+B或AUB,注：某次试验中A+B发生，即“A或B发生，意味着A，B中至少有一个发生。,3、事件的积,定义4 事件“A且B称为事件A与B的积的事件，记作AB或AB或AB,注:“A且B发生就意味着事件A和B都发生。,4、互不相容事件,定义5：假设事件A与B不能同时发生，那么称事件A与B互不相容，或称事件A，B为互斥事件。,注：事件A与B互不相容，即假设事件A发生，那么事件B不会发生亦即，事件A与B的积是不可能事件，AB=,5、对立事件与事件的差,定义6：假设事件A，B满足AB=，且A+B=U，那么称事件A，B互为对立事件。,注：常用 表示事件A的对立事件，即假设A发生，那么 不发生，并且A与 之各事件是必然事件，即,假设事件A发生而事件B不发生，那么这一事件A与B的差事件，记为A-B或A,三、古典概率与概率的性质,1、古典概型,用“等可能的条件计算概率，且其中等可能性民生的事件只有有限个，每次试验只有一个事件发生，这种计算概率的模型，就是古典概型。,假设试验只有几个等可能结果，其中导致事件A出现的结果有R个，那么事件A出现的概率为：,可以用古典概型计算的概率称之为古典概率。举例：书P125-253,2、概率的性质,性质1：任何随机事件A的概率P(A)都有0P(A)1,性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(U)=1,P()=0,性质3：假设事件A、B，满足A B，那么有,P(A)P(B)P(B-A)=P(B)-P(A),举例：书P253-254,四、概率加法公式,1、互斥事件的概率加法公式,定理1：假设事件A与B互不相容，即AB=，那么P(A+B)=P(A)+P(B),推论1：假设事件A1，A2An两两互不相容，那么P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An),推论2：,举例：书P255-256,某射手连续射击2枪，至少1枪中靶的概率是0.8，第1枪不中靶的概率是0.3，第2枪不中靶的概率是0.4，求：,(1)两枪均未中靶的概率；,(2)第1枪中靶而第2枪未中靶的概率。,解：设,由：,(1),(2)要求 ，因为,所以，,得,2、概率加法公式：,定理2：,对任意事件A，B，有概率加法公式：,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),举例：书P256-257,袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，然后放回，假设连取2次，求取到的3个球颜色全不同的概率。,解：设A表示取到的3个球颜色全不同的事件，那么,五、条件概率与概率乘法公式,1、条件概率,举例，书P258-259,定义7：假设A，B是条件组S下的随机事件，P(B)0，那么称在B发生的前提下A发生的概率为条件概率，记为P(A|B),或者说事件A关于事件B的概率。,条件概率的一般计算公式为：,2、概率乘法公式,定理3：设任意事件A，B，有概率乘法公式：,P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)0),或P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0),注：三个事件的乘法公式为,P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),举例：书P259-261,在空战中，甲机先向乙机开米，击落乙机的概率是0.2，假设乙机未被击落，那么乙时机进行还击，能击落甲机的概率为0.3，求甲机被击落的概率。,解：设事件,事件,事件,由题设，有,P(A1)=0.2,六、事件的独立性,定义8：假设事件A，B满足条件,P(AB)=P(A)P(B),那么称事件A，B是相互独立的。,注:(1)假设事件A，B相互独立，那么A与 ，,与B，与 也相互独立。,(2)独立性概念可以推广到多个事件的情况。,如：3个事件A、B、C独立时，有,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),举例：书P262-263,