数值分析迭代法--课件

*,2009,Henan Polytechnic University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,迭代法,第六章 方程求根,1,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二节 迭代法,第二节 迭代法,它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。,它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近,6.2.1,迭代法的基本思想,为求解非线性方程,f(x)=,0,的根，先将其写成便于迭代的等价方程,其中 为,x,的连续函数,。,6.2.1 迭代法的基本思想其中 为x的连续函数。,即如果数 使,f(x)=,0,任取一个初值,代入式 的,右端,得到,则也有,反之,若,则也有,再将 代入式 的右端,得到,即如果数 使 f(x)=0,任取一个初值,上式称为求解非线性方程的简单迭代公式,依此类推,得到一个数列,其一般表示,称 为迭代函数,。,上式称为求解非线性方程的简单迭代公式,依此类推,得到,例,1,试用迭代法求方程,在区间,(1,，,2),内的实根。,解：由 建立迭代关系,计算结果如下,:,k,=0,1,2,3.,例1 试用迭代法求方程,精确到小数点后五位,数值分析迭代法-课件,但如果由 建立迭代公式,仍取 ，则有,显然结果越来越大，是发散序列,但如果由 建立迭代公式仍取,（全局收敛定理）,6.2.2,收敛性分析,（全局收敛定理）6.2.2 收敛性分析,存在唯一性,做辅助函数,，则有,所以，存在点,若,，,则有：,又，,存在唯一性做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，,则,所以，任意的初值都收敛,则所以，任意的初值都收敛,误差估计,误差估计,注：,L,越小，收敛越快。,注：L越小，收敛越快。,例,2,证明函数 在区间,1,，,2,上满足迭代收敛条件。,证明：,例2 证明函数 在区间1，2,若取迭代函数,不满足定理，故不能肯定,收敛到方程的根。,若取迭代函数,定理 设 是方程 的根，如果满足条件：,（,1,）迭代函数 在 的邻域可导；,（,2,）在 的某个邻域 ，对于任意 ，有,局部收敛性,定理 设 是方程 的根，如,则对于任意的初始值 ，由迭代公式,产生的数列 收敛于方程的根。,（这时称迭代法在 的,S,邻域具有局部收敛性。）,则对于任意的初始值 ，由迭代公式,例,3,设 ，要使迭代过程,局部收敛到,求 的取值范围。,解：,由在根 邻域具有局部收敛性时，收敛条件,例3 设 ，要使迭代过程,所以,所以,实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去,对预先给定的精度要求,，只要某个,n,满足,即可结束计算并取,当然，迭代函数 的构造方法是多种多样的。,实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去,x,y,y=x,x*,y=g,(,x,),x,0,p,0,x,1,p,1,x,y,y=x,x*,y=g,(,x,),x,0,p,0,x,1,p,1,简单迭代收敛情况的几何解释,xyy=xx*y=g(x)x0p0 x1p1xyy=,定义 设迭代过程 收敛于 的根,记迭代误差,若存在常数,p,（,p1,）,和,c,（,c0,），,使,则称序列 是,p,阶收敛的,c,称渐近误差常数。特别地,p,=1,时称为线性收敛,p,=2,时称为平方收敛。,1,p,2,时称为超线性收敛。,6.2.3,迭代法的收敛速度,定义 设迭代过程 收敛于,数,p,的大小反映了迭代法收敛的速度的慢，,p,愈大，则收敛的速度愈快，故迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。,数p的大小反映了迭代法收敛的速度的慢，p愈大，则收敛的,定理 设迭代过程,若 在所求根 的邻域连续且,则迭代过程在 邻域是,p,阶收敛的。,证,:,由于,所以 有局部收敛性,将 在 处泰勒展开,即在 邻域,定理 设迭代过程 ,若 在,根据已知条件得,由迭代公式,及,有,根据已知条件得 由迭代公式 及有,例,4,已知迭代公式 收敛于,证明该迭代公式平方收敛。,证,:,迭代公式相应的迭代函数为,将 代入，,根据定理可知，迭代公式平方收敛。,例4 已知迭代公式 收敛于,为了使迭代过程收敛或提高收敛的速度,可设法,提高初值的精度以减少迭代的次数,提高收敛的阶数,p,为了使迭代过程收敛或提高收敛的速度,可设法,（,1,）迭代,-,加速公式（加权法）,设 是根 的某个近似值,用迭代公式校正一次得,6.2.4,迭代过程的加速,又,根据中值定理有,（1）迭代-加速公式（加权法）6.2.4 迭代过程的加速又,可见,若将迭代值 与 加权平均,则可得到的,是比 更好的近似根,则有：,当 范围不大时,设 变化不大,其估计值为,L,可见,若将迭代值 与 加权平均,则可得到的 是,迭代：,改进：,或合并写成：,迭代：,例,5,用加权法加速技术求方程,在,0.5,附近的一个根。,取,L,=-0.6,，,建立如下迭代公式,解：因为在 附近,例5 用加权法加速技术求方程取L=-0.6，建立如下迭,仍取,逐次计算得,=,0.56658,=,0.56714,。,迭代,4,次便可得到精度 的,结果,而不用加速技术需迭代,18,次,效果显著。,仍取 ,逐次计算得 =0.56658,（,2,）埃特金,（,Aitken,）,方法,在加权法中,估计,L,的值有时不太方便。假设在求得 以后,先求出,由,利用中值定理可得,(,在求根区间变化不大,用某个定值,L,近似地替代之,),（2）埃特金（Aitken）方法由 利用中值定理可得(,将迭代值 再迭代一次,得新的迭代值,将上述两个方程联立消去常数,L,化简可得,则,将迭代值 再迭代一次,得新的迭代值,这样得到埃特金加速公式,这样得到埃特金加速公式,例,6,用埃特金方法求方程 在初值,附近的一个根,精度要求,，,取迭代格式,解 埃特金方法迭代格式为,例6 用埃特金方法求方程 在,只迭代二次就得到满足精度要求的解。,只迭代二次就得到满足精度要求的解。,