第6章-代数方程与差分方程模型课件

,6.3,原子弹爆炸的能量估计,与量纲分析,6,.4,市场经济中的蛛网模型,6.5,减肥计划,节食与运动,6.6,按年龄分组的人,口模型,第六章 代数方程与差分方程模型,6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析第六章 代数方程与,6.3,原子弹爆炸的能量估计与量纲分析,1945,年,7,月,16,日美国科学家在新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界,!,当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力,.,英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用,数学模型估计,这次爆炸释放的能量为,19.2,10,3,t.,后来公布爆炸实际释放的能量为,21,10,3,t,6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析1945年7月16日,t,(ms),r,(m),t,(ms),r,(m),t,(ms),r,(m),t,(ms),r,(m),t,(ms),r,(m),0.10,11.1,0.80,34.2,1.50,44.4,3.53,61.1,15.0,106.5,0.24,19.9,0.94,36.3,1.65,46.0,3.80,62.9,25.0,130.0,0.38,25.4,1.08,38.9,1.79,46.9,4.07,64.3,34.0,145.0,0.52,28.8,1.22,41.0,1.93,48.7,4.34,65.6,53.0,175.0,0.66,31.9,1.36,42.8,3.26,59.0,4.61,67.3,62.0,185.0,泰勒测量：,时刻,t,所对应的“蘑菇云”的,半径,r,原子弹爆炸的能量估计,爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远,.,冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来,.,泰勒用,量纲分析方法,建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计,.,t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(m,物理量的量纲,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中基本量纲,L,M,T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),量纲齐次原则,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系,.,物理量的量纲长度 l 的量纲记 L=l质量 m的量纲记,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用,量纲齐次原则,寻求物理量之间的关系,.,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t,m,l,g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,与 对比,量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求,单摆运动中,t,m,l,g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,基本解,单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式y1y4 为,设,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F,未定,.,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,设 f(q1,q2,qm)=0 ys=,g,=,LT,-2,l,=,L,=,L,-3,M,v,=,LT,-1,s,=,L,2,f,=,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g,。,m,=6,n,=3,g=LT-2,l=L,=L-3,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,m-r,个无量纲量,Ay=0 有m-r=3个基本解rank A=3rank,F,(,1,2,3,)=0,与,(,g,l,v,s,f,)=0,等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F(1,2,3)=0与为得到阻力 f,记爆炸能量为,E,，将“蘑菇云”近似看成一个球形,.,时刻,t,球的半径为,r,t,E,空气密度,大气压强,P,基本量纲：,L,M,T,原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模,r,与哪些因素有关？,r t,E,P,L,M,T,量纲矩阵,记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻 t 球的,y,=(1,-2/5,-1/5,1/5,0),y,=(0,6/5,-2/5,-3/5,1),T,原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模,有,2,个基本解,两个无量纲量,y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6,原子弹爆炸能量估计的数值计算,时间,t,非常短,能量,E,非常大,泰勒,根据一些小型爆炸试验的数据,建议,用,r,t,的实际数据做平均,空气密度,=1.25(kg/m,3,),110,3,t(TNT,能量,),=4.18410,12,J,E,=,19.7957,(,10,3,t,),E,=,8.2825,10,13,(J),实际值,21,10,3,t,原子弹爆炸能量估计的数值计算时间 t 非常短泰勒根据一些小型,泰勒的,计算,t,r,最小二乘法拟合,r=at,b,E,=8.027610,13,(J),即,19.2,10,3,t,取,y,平均值得,c,=6.9038,模型检验,b=,0.4058,2/5,泰勒的计算tr最小二乘法拟合 r=atbE=8.02761,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0,中包括哪些物理量是至关重要的,.,基本量纲个数,n,;,选哪些基本量纲,.,有目的地构造,Ay,=0,的基本解,.,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,.,不需要特定的专业知识,.,量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造,6.4,市场经济中的蛛网模型,问,题,供大于求,现,象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,?,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,?,价格下降,减少产量,增加产量,价格上涨,供不应求,描述商品数量与价格的变化规律,.,商品,数量,与,价格,在振荡,6.4 市场经济中的蛛网模型问 供大于求现 商品数量与价,蛛 网 模 型,g,x,0,y,0,P,0,f,x,y,O,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,.,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,需求函数,f,与,g,的交点,P,0,(,x,0,y,0,),平衡点,一旦,x,k,=,x,0,，则,y,k,=,y,0,且,x,k+,1,=x,k+,2,=x,0,y,k+,1,=y,k+,2,=y,0,供应函数,蛛 网 模 型gx0y0P0fxyOxk第k时段商品数量；,x,y,O,f,g,y,0,x,0,P,0,设,x,1,偏离,x,0,x,1,x,2,P,2,y,1,P,1,y,2,P,3,P,4,x,3,y,3,P,0,是稳定平衡点,P,1,P,2,P,3,P,4,P,0,是不稳定平衡点,x,y,O,y,0,x,0,P,0,f,g,曲线斜率,蛛 网 模 型,xyOfgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2,在,P,0,点附近用直线近似曲线,P,0,稳定,P,0,不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方,商品数量减少,1,单位,价格上涨幅度,价格上涨,1,单位,(,下时段,),供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,.,经济稳定,结果解释,商品数量减少1单位,价格上涨幅度 价格上涨1,经济不稳定时政府的干预办法,1.,使,尽量小，如,=0,以行政手段控制价格不变,2.,使,尽量小，如,=0,靠经济实力控制数量不变,x,y,O,y,0,g,f,x,y,O,x,0,g,f,结果解释,需求曲线变为水平,供应曲线变为竖直,经济不稳定时政府的干预办法1.使 尽量小，如=0,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段,的价格决定下一时段的产量,.,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x,0,为平衡点,研究平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段生产者管理水平提高设,方程通解,(,c,1,c,2,由初始条件确定,),1,2,特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,!,模型的推广,方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2特征根，即,6.5,减肥计划,节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,.,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体,的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,.,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,.,饮食（吸收热量）引起体重增加,.,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,.,体重指数,BMI=,w,(kg)/,l,2,(m,2,).,18.5BMI25,超重,;BMI30,肥胖,.,6.5 减肥计划节食与运动背景 多数减肥食品达不到减,模型假设,1,）,体重增加正比于吸收的热量,每,8000kcal,增加体重,1kg,；,2,）,代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克,体重消耗,200,320kcal,(,因人而异,),相当于,70kg,的人每天消耗,2000,3200kcal,；,3,）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式,有关；,4,）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过,1.5kg,每周吸收热量不要小于,10000kcal.,模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000kcal2,某甲体重,100kg,，目前每周吸收,20000kcal,热量，体重维持不变,.,现欲减肥至,75kg.,第一阶段：每周减肥,1kg,，每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限（,10000kcal,）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,.,2,）若要,加快进程,，第二阶段增加运动，试安排计划,.,1,）在不运动的情况下安排一个,两阶段计划,.,减肥计划,3,）给出达到目标后,维持体重,的方案,.,某甲体重100kg，目前每周吸收20000kcal热量，体重,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗,20000/100=200kcal,基本模型,w,(,k,),第,k,周,(,末,),体重,c,(,k,),第,k,周吸收热量,代谢消耗系数,(,因人而异,),1,）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收,20000kcal,w,=100kg,不变,=1/8000(,kg,/kcal),确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/1,第一阶段,:,w,(,k,),每周减,1kg,c,(,k,),减至下限,10000kcal,第一阶段,10,周,每周减,1kg,，第,10,周末体重,90kg,吸收热量为,1,）不运动情况的两阶段减肥计划,第一阶段:w(k)每周减1kg,c(k)减至下限100,第二阶段：每周,c,(,k,),保持,C,m,w,(,k,),减至,75kg,1