常用概率分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章 常用概率分布,1,第一节 正态分布,Normal Distribution,2,定义 若连续型随机变量,x,的概率分布密度函数为,其中,为平均数，,2,为方差，则称随机变量,x,服从正态分布，记为,x,N,(,2,),。相应的概率分布函数为,正态分布,(normal distribution),3,正态分布,正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为,x,=,；,f(x,),在,x,=,处达 到 极 大，极大值 ；,f(x,),是非负函数，以,x,轴为渐近线，分布从,-,至,+,曲线在,x,=,处各有一个拐点，即曲线在,(-,-,),和,(,+,+),区间上是下凸的，在,-,+,区间内是上凸的,4,正态分布,正态分布有两个参数，即平均数,和标准差,5,正态分布,分布密度曲线与横轴所夹的面积为,1,，,6,标准正态分布,(standard normal distribution),=0,2,=1,的正态分布为标准正态分布,(standard normal distribution),随机变量,u,服从标准正态分布，记作,u,N,(0,，,1),7,标准正态分布,对于任何一个服从正态分布,N,(,2,),的随机变量,x,，都可以通过标准化变换,u=,(,x-,),将 其变换为服从标准正态分布的随机变量,u,u,称为标准正态变量或标准正态离差,(standard normal deviate),8,三、正态分布的概率计算,设,u,服从标准正态分布，则,u,在,u,1,u,2,）,何内取值的概率为：,(,u,2,),(,u,1,),而,(,u,1,),与,(,u,2,),可由附表,1,查得。,9,标准正态分布,正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表,1,，便能很方便地计算有关概率：,P,(0,u,u,1,),(,u,1,)-0.5,P,(,u,u,1,)=(-,u,1,),P,(,u,u,1,)=2(-,u,1,),P,(,u,u,1,1-2(-,u,1,),P,(,u,1,u,u,2,),(,u,2,)-(,u,1,),10,计算,已知,u,N(0,，,1),，试求：,(1),P,(,u,-1.64),?,(2),P,(,u,2.58)=?,(3),P,(,u,2.56)=?,(4),P,(0.34,u,1.53)=?,11,计算,查附表,1,得：,(1),P,(,u,-1.64)=0.05050,(2),P,(,u,2.58)=(-2.58)=0.024940,(3),P,(,u,2.56),=2(-2.56)=20.005234,=0.010468,(4),P,(0.34,u,1.53),=(1.53)-(0.34),=0.93669-0.6331=0.30389,12,例3,在总体 中,随机抽取一个容量,为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8,之间的概率.,解,故,例3,13,关于标准正态分布，以,下几种概率应当熟记：,P,（,-1,u,1,）,=0.6826,P,（,-2,u,2,）,=,0.9545,P,（,-3,u,3,）,=0.9973,P,（,-1.96,u,1.96,）,=0.95,P,(-2.58,u,2.58)=0.99,14,计算,u,变量在上述区间以外取值的概率分别为：,P,(,u,1)=2(-1)=1-,P,(-1,u,1),=1-0.6826=0.3174,P,(,u,2)=2(-2),=1-,P,（,-2,u,2,）,=1-0.9545=0.0455,P,(,u,3)=1-0.9973=0.0027,P,(,u,1.96)=1-0.95=0.05,P,(,u,2.58)=1-0.99=0.01,15,由表,4,2,可见，实际频率与理论概率相当接近，说明,126,头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的,16,双侧概率和单侧概率,随机变量,x,落在平均数,加减不同倍数标准差,区间之外的概率称为双侧概率,(,两尾概率,),，记作,。对应于双侧概率可以求得随机变量,x,小于,-,k,或大于,+,k,的概率，称为单侧概率,(,一尾概率,),记作,/2,。例如，,x,落在,(-1.96,+1.96),之外的双侧概率为,0.05,，而单侧概率为,0.025,。,P,(,x,+1.96)=0.025,17,x,落在,(-2.58,+2.58),之外的双侧概率为,0.01,，而单侧概率,P,(,x,+2.58)=0.005,18,第二节,卡方分布,Chi-square Distribution,19,定义,如果随机变量,z,i,(,i,=1,.,n,),为相互独立，都服从标准正态分布，则定义：,i,=1,.,n,变量,2,服从自由度等于,n,卡方分布（,chi,square distribution,）。,20,卡方分布曲线,图,4-1,不同自由度下的,2,分布,图,4-2,2,分布的上侧和下侧分位数示意图,21,卡方分布特征,卡方分布于区间,0,，,+,),，并且呈反,J,形的偏斜分布。,卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于,1,时，曲线以纵轴为渐近线。,随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右对称，当,df,30,时，卡方分布已接近正态分布。,22,第三节,t,分布,23,定义,如果,zN(0,1),2,服从自由度等于,n,的卡方分布,则,为自由度为,n,的,t,分布,t,分布的形状与正态分布相似,24,t,分布,不同自由度下的,t,分布,t,分布双侧分位数示意图,25,t,分布密度曲线特点,t,分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条,t,分布密度曲线。,t,分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在,t,0,时，分布密度函数取得最大值。,与标准正态分布曲线相比，,t,分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。,df,越小这种趋势越明显。,df,越大，,t,分布越趋近于标准正态分布。当,n,30,时，,t,分布与标准正态分布的区别很小；,n,100,时，,t,分布基本与标准正态分布相同；,n,时，,t,分布与标准正态分布完全一致。,26,第四节,F,分布,27,定义,28,F,分布图,(2,6)(6,10)(10,20),29,F,分布有以下特征,F,分布的平均数等于,1,，取值区间为,0,，,+,),。,F,分布曲线的形状仅决定于,df,1,和,df,2,。当,df,1=1,或,2,时，,F,分布曲线呈严重倾斜的反向,J,形，当,df,1,3,时，转为左偏曲线。,30,第五节,样本平均数的抽样分布,31,定义,样本变异性,(sampling variability),：简单随机样本平均数间存在差别。或抽样误差,(sampling error),样本分布,(sampling distribution),：指样本的概率分布。,32,样本平均数的分布,从,N,个总体中随机抽取样本含量为,n,的样本，共抽,m,次，求样本平均数的分布,(sample distribution for the mean),。,计算每个样本的平均数,列出每次抽样的平均数，并列出每个平均数的频率,直观观察,33,例题,1,一个骰子掷两次算一次抽样，求所有样本的样本平均数和方差,1,2,3,4,5,6,1,1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,5,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,34,例题,2,平均数,频率,相对频率,1.0,1,0.028,1.5,2,0.056,2.0,3,0.083,2.5,4,0.111,3.0,5,0.139,3.5,6,0.167,4.0,5,0.139,4.5,4,0.111,5.0,3,0.083,5.5,2,0.056,6.0,1,0.028,总和,36,1.000,35,样本平均数的分布,1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0,36,定理,情况,1.,如果总体服从正态分布，平均数为,，方差为,2,，样本含量为,n,，则样本为：,正态分布,平均数等于,方差等于,2,/n,，,SQRT,（,2,/n,）称为平均数的标准差,(standard error of the mean),或简称标准误,37,定理,情况,2,：当总本,不是,服从正态分布，平均数为,，方差为,2,，样本含量为,n,，则样本为：,近似服从正态分布，随样本越大，近似越好。与总体分布的形状有关。一般地，样本数,30,或者,30,以上，近似会比较好（,中心极限定理,Central Limit Theorem,CLT,）。,平均数等于,方差等于,2,/n,，,SQRT,（,2,/n,）为平均数的标准误,(standard error of the mean),或标准误,38,总体,平均数的期望,39,样本平均数的方差,40,