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高考总,复习优化设计,GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI,第,2,课时不等式的证明,选修,45,2022,关键能力 学案突破,考点,证明不等式,(,多考向探究,),考向,1,比较法证明不等式,【例,1,】,已知函数,f,(,x,),=|x-,3,|.,(1),解不等式,f,(2,x+,4),4;,(2),若,a,b,R,|a|,1,|b|f,(,a-b+,3),.,(2),证明,f,(,ab+,2),f,(,a-b+,3),|ab-,1,|a-b|,因为,|a|,1,|b|,1,所以,a,2,1,b,2,0,所以,|ab-,1,|,2,|a-b|,2,即,|ab-,1,|a-b|,所以原不等式成立,.,解题心得,1,.,作差比较法的步骤,:,作差,变形,(,化简,),定号,(,差值的符号,),得出结论,.,2,.,作商比较法的步骤,:,作商,变形,(,化简,),判断,(,商值与实数,1,的关系,),得出结论,.,对点训练,1,(2020,宁夏银川高级中学月考,),已知,f,(,x,),=|x-,1,|+|x+,1,|,不等式,f,(,x,),4,的解集为,M.,(1),求集合,M,;,(2),当,a,b,M,时,证明,:2,|a+b|,4,+ab|.,解得,-,2,x-,1,或,-,1,x,1,或,1,x,2,-,2,x,2,M=,(,-,2,2),.,(2),证明,当,a,b,M,时,即,-,2,a,2,-,2,b,2,4(,a+b,),2,-,(4,+ab,),2,=,4,a,2,+,4,b,2,-,16,-a,2,b,2,=,(,a,2,-,4)(4,-b,2,),0,4(,a+b,),2,(4,+ab,),2,2,|a+b|,3,恒成立,求实数,a,的取值范围,;,(2),若,0,a,1,|b|f,(,b,),.,又因为,0,a,1,|b|,1,所以,a,2,1,b,2,0,所以,|ab-,1,|a-b|,故所证不等式成立,.,解题心得,用分析法证明不等式时应注意,(1),分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论,;,(2),分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知,(,或已证,),的不等式,;,(3),用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好,“,要证,”“,只需证,”“,即证,”,等词语,.,考向,4,利用绝对值三角不等式证明不等式,【例,4,】,(2020,广东珠海三模,23),已知函数,f,(,x,),=,|x-,1,|.,(1),解不等式,f,(,x,),+f,(,x+,1),4;,解题心得,利用绝对值三角不等式证明不等式时,一般需要利用绝对值的意义,对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式做正负号的调整,使之利用绝对值三角不等式后对消变量,得到常数,.,考向,5,利用放缩法证明不等式,【例,5,】,设函数,f,(,x,),=|x+,2,|-|x-,2,|.,(1),略,;,解题心得,放缩法证明不等式,常常利用基本的不等式,绝对值三角不等式等大家熟知的数学结论进行放缩,有时也对要证明结论的一端进行适当的放或缩来证明不等式,.,对点训练,5,已知,a,b,c,均大于,0,函数,f,(,x,),=|a-x|+|x+b|+c.,(1),当,a=b=c=,2,时,求不等式,f,(,x,),0,b,0,c,0,所以,f,(,x,),=|a-x|+|x+b|+c,|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c.,因为,f,(,x,),的最小值为,1,所以,a+b+c=,1,所以,(,a+b+c,),2,=a,2,+b,2,+c,2,+,2,ab+,2,ac+,2,bc=,1,.,因为,2,ab,a,2,+b,2,2,bc,b,2,+c,2,2,ac,a,2,+c,2,所以,1,=a,2,+b,2,+c,2,+,2,ab+,2,ac+,2,bc,3(,a,2,+b,2,+c,2,),.,所以,a,2,+b,2,+c,2,.,考向,6,利用柯西不等式证明不等式,【例,6,】,(2020,安徽合肥三模,22),已知函数,f,(,x,),=|,2,x-,2,|-|x+,1,|,的最小值为,m.,(1),求,m,的值,;,(2),若,a+b+c+m=,0,证明,:,a,2,+b,2,+c,2,-,2,b+,4,c+,2,0,.,(2),证明,由,(1),知,a+b+c=,2,a,2,+,(,b-,1),2,+,(,c+,2),2,(1,2,+,1,2,+,1,2,),a,1,+,(,b-,1),1,+,(,c+,2),1,2,=,(,a+b+c+,1),2,=,9,a,2,+,(,b-,1),2,+,(,c+,2),2,3,当且仅当,a=b-,1,=c+,2,a+b+c=,2,即,a=,1,b=,2,c=-,1,时,等号成立,.,a,2,+b,2,+c,2,-,2,b+,4,c+,2,0,.,解题心得,利用柯西不等式证明不等式时,一定要满足柯西不等式的形式,这往往需要对要证明的不等式的一端的代数进行变形,以满足柯西不等式的形式,.,对点训练,6,(2020,山西太原二模,23),已知,a,b,c,为正实数,.,要点归纳小结,1,.,含绝对值不等式的证明,可用,“,零点分段法,”,去掉绝对值符号,也可利用重要不等式,|a+b|,|a|+|b|,及其推广形式,|a,1,+a,2,+,+a,n,|,|a,1,|+|a,2,|+,+|a,n,|.,2,.,不等式证明中应注意的事项,(1),作差比较法适用的主要是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要是高次幂乘积结构,.,(2),利用柯西不等式证明不等式,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号成立的条件,.,要点归纳小结,在利用算术,几何平均不等式或柯西不等式求最值时,要注意检验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立,.,一、与同学们讨论下各自的学习心得,二、老师们指点下本课时的重要内容,学习延伸,开始学习，,你准备好了没有？,观后思考,学习延伸,谢谢观看 同学们再见,!,亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。希望我的文档能够帮助到你，促进我们共同进步。,孔子曰，三人行必有我师焉，术业有专攻，尺有所长，寸有所短，希望你能提出你的宝贵意见，促进我们共同成长，共同进步。每一个都花费了我大量心血，其目的是在于给您提供一份参考，哪怕只对您有一点点的帮助，也是我最大的欣慰。如果您觉得有改进之处，请您留言，后期一定会优化。,常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习只是一个习惯，只要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信你我不久的将来一定会取得更大的进步。,最后祝：您生活愉快，事业节节高。,学习延伸,后,记,给自己一份坚强，擦干眼泪,；,给,自己一份自信，不卑不亢,；,给,自己一份洒脱，悠然前行,。,为,了看阳光，我来到这世上,；,为,了与阳光同行，我笑对忧伤。,课后延伸,励志名言,
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