4.3平面向量的数量积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.3,平面向量的数量积,基础知识 自主学习,要点梳理,1.,平面向量的数量积,已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角是,，则,数量,叫做向量,a,和,b,的数量积,（或内积），记作,.,规定：零向量与任一向量的数量积为,.,两个非零向量,a,与,b,垂直的充要条件是,，,两个非零向量,a,与,b,平行的充要条件是,.,|,a,|,|,b,|cos,a,b,=|,a,|,b,|,cos,0,a,b,=0,a,b,=,|,a,|,b,|,2.,平面向量数量积的几何意义,数量积,a,b,等于,a,的长度,|,a,|,与,b,在,a,方向上的投,影,的乘积,.,3.,平面向量数量积的重要性质,（,1,）,e,a,=,a,e,=,；,（,2,）非零向量,a,，,b,，,a,b,；,（,3,）当,a,与,b,同向时，,a,b,=,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,=,a,a,=,，,|,a,|=;,（,4,）,cos,=,；,（,5,）,|,a,b,|,|,a,|,b,|.,|,b,|cos,a,2,-|,a,|,b,|,|,a,|cos,a,b,=0,|,a,|,b,|,4.,平面向量数量积满足的运算律,（,1,）,a,b,=,（交换律）；,（,2,）（,a,）,b,=,=,（,为实数）；,（,3,）（,a,+,b,）,c,=,.,5.,平面向量数量积有关性质的坐标表示,设向量,a,=,（,x,1,，,y,1,），,b,=,（,x,2,，,y,2,），则,a,b,=,，由此得到,（,1,）若,a,=,（,x,，,y,），则,|,a,|,2,=,x,2,+,y,2,或,|,a,|=.,（,2,）设,A,（,x,1,，,y,1,），,B,（,x,2,，,y,2,），则,A,、,B,两点,间的距离,|,AB,|=|,AB,|=,.,（,3,）设,a,=,（,x,1,，,y,1,），,b,=,（,x,2,，,y,2,），则,a,b,.,b,a,a,b,a,b,a,c,+,b,c,x,1,x,2,+,y,1,y,2,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,基础自测,1.,已知,a,=(2,3),b,=(-4,7),则,a,在,b,方向上的投影为,.,解析,设,a,和,b,的夹角为,，,|,a,|cos,2.,（,2009,常州市武进区四校高三联考）,已知向,量,a,=(2,1),b,=(3,)(,0),若,(2,a,-,b,),b,则,=,.,3,3.,(2008,浙江理,),已知,a,、,b,是平面内两个互相垂,直的单位向量，若向量,c,满足（,a,-,c,）,（,b,-,c,）,=0,，则,|,c,|,的最大值是,.,解析,由于,(,a,-,c,),(,b,-,c,)=0,并且,a,b,=0;,所以,c,c,=(,a,+,b,),c,即,|,c,|,2,=(,a,+,b,),c,=|,c,|,|,a,+,b,|,cos,a,+,b,c,即,|,c,|=,cos,a,+,b,c,当,cos,a,+,b,c,=1,时,|,c,|,取得最大值为,.,4.,（,2009,全国,改编）,已知向量,a,=(2,1),a,b,=10,|,a,+,b,|=5,，则,|,b,|=,.,解析,|,a,+,b,|,2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,=5+20+,b,2,=50,b,2,=25,|,b,|=5.,5,典型例题 深度剖析,【,例,1,】,（,1,）在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,AB,=5,，,AC,=4,，求,AB,BC,.,（,2,）若,a,=(3,-4),b,=(2,1),试求,(,a,-2,b,),(2,a,+3,b,).,向量的数量积有两种计算方法，一是依,据长度与夹角来计算，二是依据坐标来计算,.,具,体应用时可根据已知条件的特征来选择，本题,（,1,）中两向量,AB,、,BC,的长度及夹角容易求得，,故可用公式,a,b,=|,a,|,b,|cos,来求解,.,而（,2,）,中向量,a,、,b,的坐标已知，可求,a,2,、,b,2,、,a,b,，也,可求,a,-2,b,与,2,a,+3,b,的坐标，进而用（,x,1,y,1,）,(,x,2,y,2,)=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,来求解,.,分析,解,（,1,）在,ABC,中，,C,=90,，,AB,=5,，,AC,=4,，故,BC,=3,，且,cos,ABC,=,AB,与,BC,的夹角,=,-,ABC,AB,BC,=-|,AB,|,BC,|cos,ABC,=-5,3,=-9.,(2),a,-2,b,=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6),2,a,+3,b,=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5),(,a,-2,b,),(2,a,+3,b,)=(-1),12+(-6),(-5)=18.,跟踪练习,1,已知向量,a,=(,cos,x,sin,x,),b,=(,cos,-sin ),，且,（,1,）求,a,b,及,|,a,+,b,|;,（,2,）若,f,(,x,)=,a,b,-|,a,+,b,|,求,f,(,x,),的最大值和最小,值,.,解,（,1,）,a,b,=,cos,x,cos,-sin,x,sin,=,cos,2,x,a,+,b,=(,cos,+,cos,sin,x,-sin ),|,a,+,b,|=,cos,x,0,|,a,+,b,|=2cos,x,.,(2),由（,1,）可得,f,(,x,)=,cos,2,x,-2cos,x,=2cos,2,x,-,2cos,x,-1=2,（,cos,x,-,）,2,-.,cos,x,1,，,当,cos,x,=,时，,f,(,x,),取得最小值为,-,；,当,cos,x,=1,时，,f,(,x,),取得最大值为,-1.,【,例,2,】,已知,a,=(,cos,sin,),b,=(,cos,sin,)(0,).,（,1,）求证：,a,+,b,与,a,-,b,互相垂直；,（,2,）若,k,a,+,b,与,a,-,k,b,的模相等，求,-,.(,其中,k,为非零实数,),（,1,）,a,+,b,a,-,b,可分别用坐标表示出来，要,证垂直，只需证,(,a,+,b,),(,a,-,b,)=0.,（,2,）由,|,k,a,+,b,|=|,a,-,k,b,|,得到,cos(,-,),的值，再,由,-,的范围确定,-,的值,.,（,1,）,证明,(,a,+,b,),(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,=|,a,|,2,-|,b,|,2,=(cos,2,+sin,2,)-(cos,2,+sin,2,)=0,a,+,b,与,a,-,b,互相垂直,.,分析,（,2,）,解,k,a,+,b,=(,k,cos,+cos,k,sin,+,sin,),a,-,k,b,=(,cos,-,k,cos,sin,-,k,sin,),|,k,a,+,b,|=,|,a,-,k,b,|=,|,k,a,+,b,|=|,a,-,k,b,|,2,k,cos(,-,)=-2,k,cos(,-,).,又,k,0,cos(,-,)=0.,而,0,-,=.,跟踪练习,2,已知平面内,A,、,B,、,C,三点在同一条直,线上，,OA,=,（,-2,，,m,），,OB,=,（,n,，,1,），,OC,=,（,5,，,-1,），且,OA,OB,，求实数,m,n,的值,.,解,由于,A,、,B,、,C,三点在同一条直线上，则,AC,AB,，,AC,=,OC,-,OA,=,（,7,，,-1-,m,），,AB,=,OB,-,OA,=,（,n,+2,，,1-,m,），,7,（,1-,m,）,-,（,-1-,m,）（,n,+2,）,=0,，,即,mn,+,n,-5,m,+9=0,又,OA,OB,，,-2,n,+,m,=0.,m,=6,m,=3,n,=3,n,=.,或,联立，解得,【,例,3,】,（,2009,全国,理改编）,设,a,、,b,、,c,是单,位向量，且,a,b,=0,则（,a,-,c,）,（,b,-,c,）的最小,值为,.,解析,a,b,=0,且,a,b,c,均为单位向量，,a,+,b,=,|,c,|=1.,(,a,-,c,),（,b,-,c,）,=,a,b,-(,a,+,b,),c,+,c,2,.,设,a,+,b,与,c,的夹角为,则（,a,-,c,）,（,b,-,c,）,=1-|,a,+,b,|,|,c,|,cos,=1-,cos,.,故,(,a,-,c,),（,b,-,c,）的最小值为,1-.,跟踪练习,3,已知,a,=,b,=,（,1,）求,的最值；,（,2,）若,|,k,a,+,b,|=|,a,-,k,b,|(,k,R,),求,k,的取值范围,.,解,（,1,）,a,b,=,|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,+2,a,b,=2+2cos 2,=4cos,2,.,|,a,+,b,|=2cos,.,（,2,）由题设可得,|,k,a,+,b,|,2,=3|,a,-,k,b,|,2,（,k,a,+,b,）,2,=3,（,a,-,k,b,）,2,又,|,a,|=|,b,|=1,a,b,=,cos,2,，,cos,2,=,【,例,4,】,（,14,分）设两个向量,e,1,e,2,满足,|,e,1,|=2,|,e,2,|=1,e,1,与,e,2,的夹角为式,若向量,2,t,e,1,+7,e,2,与,e,1,+,t,e,2,的夹角为钝角，求实数,t,的范围,.,由公式,cos,=,可得,若为钝角，,则,cos,0,即,a,b,0,，从而可求出,t,的取值范,围，同时要注意共线反向，即,=,这一情况,.,解题示范,解,由向量,2,t,e,1,+7,e,2,与,e,1,+,t,e,2,的夹角为钝角，,即,(2,t,e,1,+7,e,2,),(,e,1,+,t,e,2,)0,分析,化简即得,2,t,2,+15,t,+70,解得,-7,t,-,6,分,当夹角为,时，,也有,(2,t,e,1,+7,e,2,),(,e,1,+,t,e,2,)0,但此时夹角不是钝角，,2,t,e,1,+7,e,2,与,e,1,+,t,e,2,反向,.,10,分,设,2,t,e,1,+7,e,2,=,(,e,1,+,t,e,2,),1(,k,R,),，求,k,的取值范围,.,（,1,）,证明,（,a,-,b,）,c,=,a,c,-,b,c,=|,a,|,|,c,|,cos,120,-|,b,|,|,c,|,cos,120,=0,（,a,-,b,）,c,.,（,2,）,解,|,k,a,+,b,+,c,|1,|,k,a,+,b,+,c,|,2,1,k,2,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,k,a,b,+2,k,a,c,+2,b,c,1.,|,a,|=|,b,|=|,c,|=1,，且,a,、,b,、,c,相互之间的夹角均为,120,a,2,=,b,2,=,c,2,=1,，,a,b,=,b,c,=,a,c,=-,，,k,2,+1-2,k,1,即,k,2,-2,k,0,k,2,或,k,0.,12.,（,2009,广东广州二模）,已知向量,a,=,b,=,若函数,f,(,x,),=,a,b,-,|,a,+,b,|,的最小值为,，求实数,的,值,.,解,|,a,|=1,，,|,b,|=1,，,cos,x,0,，,1,.,a,b,=,|,a,+,b,|=,f,（,x,）,=,cos,2,x,-,cos,x,=2cos,2,x,-,cos,x,-1,=2(cos,x,-),2,-1,，,当,4,时，取,cos,x,=1,此时,f,(,x,),取得最小值，,并且,f,(,x,),min,=1-,=,解得,=,不符合,4,舍去,=2.,返回,