假定男女出生率相同

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,1.,4 条件概率与三个概率公式,一、条件概率,对概率的争论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即某一大事B已经发生，要求另一大事A发生的概率。,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女诞生率一样，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。,假设A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；,但假设预先知道至少有一男孩，则上述大事的概率应为2/3.,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女诞生率一样，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。,假设A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；,但假设预先知道至少有一男孩，则上述大事的概率应为2/3.,我们将“大事 B 发生的条件下,大事 A 发生的概率”称为条件概率，记为P(A|B)。,假设记B为至少有一男孩，则上述概率为,条件概率的,计算公式,规定,如下：,例1 设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，假设第一次摸到白球，求其次次也摸到白球的概率。,解,设,A,B,分别表示第一、二次摸到白球,则,法二：,法一:,A,发生后的缩减,样本空间所含样,本点总数,在缩减样本空,间中,B,所含样,本点个数,例2 设某种动物由诞生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设,A,=,能活,20,年以上,，,B,=,能活,25,年以上,依题意，,P,(,A)=,0.8,P,(,B)=,0.4,所求为,P,(,B|A,).,不难验证条件概率具有以下三个根本性质：,(1)非负性,(2)标准性,(3)可加性,并由此推出条件概率的其它性质：,1.,设,A,与,B,互不相容,且,P(B)0,则,P(A|B)=_,2.设A与B为两大事,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,练习,0,注：概率 P(A|B)与P(AB)的区分与联系,联系：大事A，B都发生了,区分：,1在P(A|B)中，大事A，B发生有时间上的差异，,B先A后；在PAB中，大事A，B同时发生。,2样本空间不同，在P(A|B)中，大事B成为样本,空间；在PAB中，样本空间仍为 S 。,因而有,作业,P:19,习题,1-4 1,二、乘法公式,由条件概率的公式：,即假设P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B),假设P(B),P(A|B)时,可以反求 P(AB).,假设P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A),推广到三个大事：,P,(,A,1,A,2,A,n,),=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n-,1,),一般,与次序无关。,乘法公式,例,3,某厂产品的废品率为,4,%,而合格品中有,75,%是一等品,求一等品率.,解,记,A,：,合格品；,B,：,一等品，,即一等品率为,72,%.,例,4,例,4,三、全概率公式,全概率公式主要用于计算比较简单大事的概率,它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.,综合运用,可加性,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A、B,互斥,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,(即每次至多发生其中一个),(即每次至,少,发生其中一个),B,1,B,2,B,3,B,4,B,6,B,7,B,5,B,8,集合的划分,A,B,1,B,2,B,3,B,4,B,6,B,7,B,5,B,8,由概率的,可加性,及,乘法公式,有,这个公式称为全概率公式，它是概率论的根本公式.,全概率公式,利用全概率公式，可以把较简单大事概率的计算问题，化为假设干互不相容的较简洁情形，分别求概率然后求和,例5 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,三家工厂的市场占有率分别为30、20、50,且三家工厂的次品率分别为 3、3、1，试求：1市场上该品牌产品的次品率.,B,1,、,B,2,、,B,3,分别表示买到,设,A,:,买到一件次品；,解,加权平均,一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；,例6 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问其次次摸出白球的概率为多少？,解,分别记A,B为第一次、其次次摸到白球，,由全概率公式,例7 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购置一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机观察4只，假设无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.,解,记A:顾客买下所观察的一箱玻璃杯，,Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，,由题设知，,由全概率公式知,四、贝叶斯公式,在上面例,5,中，如,买到,一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到 .,在全概率公式的假定下，有,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观看到大事A已发生的条件下，查找导致A发生的每个缘由Bk的概率.,贝叶斯公式,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例5三家工厂的市场占有率分别为30、20、50,次品率分别为3、3、1.2假设买了一件该商品，觉察是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3,0.2,0.5,0.45,0.3,0.25,解,全概率公式可看成“由缘由推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推缘由”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“缘由”中,究竟是哪一个导致了这一结果？,故,贝叶斯公式,也称为“,逆概公式,”。,例 8 对以往的数据分析结果说明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%。某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好,产品合格,机器发生某一故障,解：设A表示产品合格，B表示机器调整良好,例 8 对以往的数据分析结果说明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%。某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,下面举一个,实际的,医学例子，说明贝叶斯公式在,解决,实际问题中的作用.,解,因此，虽然检验法相当牢靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要缘由是人群中患肝癌的比例相当小。固然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。,思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？,贝叶斯公式在商业决策及其它企业治理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想进展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.,作业,P:19,习题,1-4 2,4,5,6,