解析函数与调和函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.4 解析函数,若f(z)在 不解析，则称该点为f(z)的奇点。,重点！,1、定义：,如果函数f(z)不仅在 处可导，而且在 的某个邻域内任意点可导，则称f(z)在 处解析.,如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区域D内解析。,1,(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是,一个整体概念),注：,1）f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点的某邻域内解析。,2）f(z)在闭区域 上解析，也就是指f(z)在包含 的某邻域内解析。,(1),w,=,f,(,z,),在,D,内解析 在,D,内可导。,(2),函数,f,(,z,),在,z,0,点可导，未必在,z,0,解析。,2,例,讨论函数的解析性,1）f(x)=的解析性,2）f(x)=的解析性,3,2、函数解析的充要条件,定理2.9,函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是：u,v在D内可微，且满足柯西黎曼方程。,例2.19,讨论下列函数的解析性,1）f(z)=2x(1-y)+i(x,2,-y,2,+2y),2)f(z)=,3)f(z)=zRe(z)=(x+iy)x,问题,如何判断函数的解析性呢？,记忆,4,5,6,例2.20,证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导数为零，则该函数在此区域上为常数。,证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),7,3、初等函数的解析性,定理1,设,w,=,f,(,z,)及,w,=,g,(,z,)是区域D内的解析函数，,则,f,(z),g,(z)，,f,(,z,),g,(,z,)及,f,(,z,),g,(,z,)(,g,(,z,)0时),均是D内的解析函数。,定理 2,设,w=f,(,h,)在,h,平面上的区域 G 内解析,h,=g(,z,)在,z,平面上的区域 D 内解析,h,=g(,z,)的函数值,集合 G，则复合函数,w=f,g(,z,)在D内处处解析。,8,4,0,三角函数和双曲函数在其定义域内解析，反三角函数和反双曲函数要具体讨论。,3,0,幂函数 :,1)为正整数和零时，在整个复平面解析。,2）为负整数时，在除原点外整个复平面解析。,3）为既约分数、无理数、复数时，在除去原点和负实轴外的复平面解析。,1,0,指数函数e,z,在整个复平面上解析。,2,0,对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负实轴外处处解析。,9,2.5 调和函数,调和函数,：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程：，则称h(x,y)其为D内的调和函数。,10,共轭调和函数,设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它们满足柯西黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。,定理,上面定理说明：,11,注：一般地，若v为u在D内的共轭调和函数，,则-u为v在D内的共轭调和函数，,u是-v的共轭调和函数,设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)在D内解析,在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数,f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析,f(z)=-v(x,y)+iu(x,y)在区域D内亦解析,12,现在研究反过来的问题：,13,三、已知实部或虚部求解析函数表达式,设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,1、方法一：,例 已知解析函数f(z)的实部 求其虚部v.,对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。,14,例2.22 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv,1)u=shxsiny 2)v=x,2,-y,2,+2y,15,16,方法二,定理4-6,设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x,0,y,0,)为D内任意取定的点，则存在由,确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。,公式不用强记！可如下推出：,17,类似地，,然后两端积分得，,18,例 2.23 已知调和函数u(x,y)=,求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。,19,例 2.24 已知f(z)的虚部为 v(x,y)=,求解析函数f(z)=u+iv，且f(0)=0.,20,四、本章总结,本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、调和函数的概念，给出了各自的充要条件。,要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数和调和函数。,五、作业：,2.4.7 a.d 2.4.9 b 2.4.13.c f,2.5.5 2.5.9 d 2.5.10 d i,它们之间的关系：,21,习题订正,2.4.8,22,2.4.9 b 若函数f(z)在区域D内解析，且满足 在D内为常数，,则f(z)在D内必为常数。,23,