高数下册总复习课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（一）,向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之,间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定,（,1,）,（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之（1）,（一）,（,2,）设,则,（一）,向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之,间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定,（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量,（,3,）,曲面在某点处的,法线方程的确定,要点：,I,：,曲面在某点处的,法线方程的确定,（,1,）设曲面方程为,第一步：计算,第二步：计算曲面的法向量,第三步：分别写出切平面和法线的方程,（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法,（,2,）设曲面方程为,第一步：取,第二步：计算曲面的法向量,第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法,线的方程,（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：,3,、典型例题,3、典型例题,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程,例,2,：设直线,L,和平面,的方程分别为,则必有（）,解：,C,例2：设直线 L 和平面 的方程分别为则必有（,高数下册总复习课件,要点：,I,、方向导数与梯度的计算,II,：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；,III,：隐函数的偏导数的计算；,例,1,：设,答案：,IV,：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；,（二）,隐函数存在定理的应用、方向导数与梯度的计算、,复合函数高阶偏导函数的计算、多元函数极值（含条件,极值和无条件极值）；,要点：I、方向导数与梯度的计算III：隐函数的偏导数的计算,例,:(1),函数 在点 处沿哪个方向,的方向导数最大？并求方向导数的最大值,.,例,1,：设,例,3,：,设,求,(2),求函数,在点,处沿到点,的方向,上的方向导数,例:(1)函数,例,3,：,设,求,解：,z,x,y,u,x,y,u,例3：设求解：zxyuxyu,例,4,：设,答案：,例4：设答案：,例,5,：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,例5：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解,例,6,：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,例6：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解,拉格朗日乘数法：,（,1,）构造拉格朗日函数：,（,2,）联解方程组，求出,问题,1,的所有可能的极值点。,问题,1,：,求函数,z,=,f,(,x,y,),在约束条件,(,x,y,)=0,下的极值（称为条件极值问题）。,（,3,）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题,中往往可根据问题本身的性质来判断。,（,3,）,条件极值。,拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求,例,1,：,在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设,(,x,y,z,),为椭球面上任意一点,则该点到平面的距离为,问题,1,：,在约束条件,下，求距离,d,的最大最小值。,由于,d,中含有绝对值，为便于计算，考虑将,问题,1,转化为下面的等价问题,例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,问题,2,：,在条件,下，求函数,的最大最小值。,问题,1,：,在约束条件,下，求距离,d,的最大最小值。,（,1,）作拉格朗日函数,（,2,）联解方程组,问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，,（,1,）作拉格朗日函数,（,2,）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离,例,1,：,在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：,问题,1,：,在约束条件,下，求距离,d,的最大最小值。,求得两个驻点：,对应的距离为,（,3,）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距,离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在,三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、,二重积分（直角坐标、极坐标）的计算、三重积分（柱面,坐标）计算；,重点内容,（,1,）二重积分在直角坐标下的计算；,三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、重点内容（,答案：,例,1,：,计算二重积分,答案：,答案：例1：计算二重积分答案：,三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）,重点内容,（,2,）二重积分中二次积分的交换次序；,答案,:,例,2,：,试证：,三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分,解,积分区域分为两块,解积分区域分为两块,例,2,：,试证：,证明：画出积分区域,D,由图可知,D,又可以写成,X,型区域,例2：试证：证明：画出积分区域 D 由图可知 D 又可以写成,（,3,）利用极坐标计算二重积分；,再根据,D,的极坐标表示，将极坐标下的二重积分,化为累次积分。,例,3:,计算,由直线,y=x,及曲线,所围平面区域。,（3）利用极坐标计算二重积分；再根据 D 的极坐标表示，将极,（,4,）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；,在二重积分的计算过程中，要注意对称性。,例,5,：计算,其中,D,由直线,y=x,y,=,1,及,x,=1,所围平面区域,（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的,解,解,（,5,）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；,例,6,：,提示：,再对,用“先二后一”的方法计算，,并用对称性给出另外两项的结果。,（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提,例,7,：,提示：利用对称性、被积函数奇偶性及,“先二后一”法,（,6,）利用柱面坐标计算三重积分,例,8,：,绕,z,轴旋转一周而成曲面与平面,z,=8,所围空间立体,例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法（,四、,第一、二类曲线积分，积分与路径无关、,第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。,（,1,）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；,（,2,）基本公式,格林公式,高斯公式,主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分,主要作用：将曲面积分转化为三重积分,四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、（1）曲线和曲面积分,（,3,）基本应用：,格林公式和高斯公式的两类典型应用题：,2.,平面曲线积分,“,封口法”和“挖洞法”。,与路径无关,在单连通区域,G,内,（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.,（,4,）基本计算技巧,1.,利用对称性；,2.,利用曲线或曲面方程化简被积函数；,3.,利用关系式,将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；,4.,利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简,化平面曲线积分。,（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或,例,1,：,设椭球面,的表面积为,a,，则,20,a,提示：利用曲面方程及对称性,例,2,：,设,则,提示：利用曲线方,程及对称性,0,例,3,：,提示：利用高斯公式及,椭球体的体积。,例1：设椭球面 的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对,例,4,：,设,f,(,x,),在,(0,+,),上有连续的导数，,L,是由点,提示：利用积分与路径无关，并取新路径：,A,(1,2),到点,B,(2,8),的直线段，计算,（,30,）,例,5,：,计算,由抛物面,与圆柱面,及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。,提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标,例4：设 f(x)在(0,+)上有连续的,高数下册总复习课件,例,6,：计算,再由坐标原点沿,x,轴到,B,(2,0),。,解：,其中，,L,为由点,A,(,1,1),沿曲线,到坐标原点，,分析：应用格林公式,补充：,例6：计算再由坐标原点沿 x 轴到 B(2,0)。解,五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、,幂级数的收敛域，幂级数求和函数，傅里叶级数的,收敛定理。,（,1,）数项级数收敛性判别,1.,正项级数,比较判别法，比值判别法，根值判别法，,收敛的必要条件,几何级数、,P,级数和调和级数,2.,交错级数：,莱布尼茨定理,3.,任意项级数：,绝对收敛和条件收敛。,五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、（1）数项级数收,任意项级数,收敛性判断的一般步骤：,（,1,）检验,（,3,）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（,4,）若,发散，,但是用比值或根值法判断的,则原级数也发散。,是否成立？,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,否则，进行下一步；,（,2,）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数,或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,（,5,）用性质或其它方法。,任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审,（,2,）幂级数的收敛半径和收敛域,求幂级数,（,1,）利用极限,（,2,）判定幂级数在端点,确定收敛半径,R,及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（,3,）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明,（,1,）,幂级数中不能出现“缺项”。,（,2,）对幂级数,要先做变换,（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判,（,3,）求幂级数的和函数,求幂级数,（,1,）利用极限,（,2,）判定幂级数在端点,确定收敛半径,R,及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（,3,）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明,（,1,）,幂级数中不能出现“缺项”。,（,2,）对幂级数,要先做变换,（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数,性质,3,：,幂级数,逐项积分后所得级数,的和函数,s,(,x,),在收敛域,I,上可积，,并有逐项积分公式,其收敛半径与原级数相同。,（,3,）求幂级数的和函数,性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数 s(x)在收敛,性质,4,：,幂级数,逐项求导后所得级数,的和函数,s,(,x,),在收敛区间,内可导，,并有逐项求导公式,其收敛半径与原级数相同。,说明：求和函数一定要先求收敛域。,性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数 s(x)在收敛,典型例题,例,1,：若幂级数,在,x=-,2,处收敛，,则此幂级数在,x,=5,处（,）,（,A,）一定发散。（,B,）一定条件收敛。,（,C,）一定绝对收敛。（,D,）收敛性不能确定。,C,例,2,：若幂级数,的收敛半径是,16,，,则幂级数,的收敛半径是（）,4,典型例题例1：若幂级数在 x=-2 处收敛，则此幂级数,例,3,：已知,的收敛半径为,3,，则,的收敛区间为（）,例,4,：级数,当（）,（,A,）,p,1,时条件收敛，,（,B,）,0,p,1,时绝对收敛，,（,C,）,0,p,1,时条件收敛，,（,D,）,0,p,1,时