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,专题五 平面向量,目 录,CONTENTS,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,1,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,2,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,3,3,考点二平面向量基本定理及坐标表示,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,4,必备知识 全面把握,1平面向量基本定理,如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数,1,，,2,，使a,1,e,1,2,e,2,.我们把不共线的向量,e,1,，,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成基底的两个向量是不共线向量，因此，零向量和共线向量不能作为基底,.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,5,2平面向量坐标运算的应用,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标，即设A(x,1,，y,1,)，B(x,2,，y,2,)，则有 (x,2,x,1,，y,2,y,1,),(1)向量共线的坐标表示,若,a,(x,1,，y,1,)，,b,(x,2,，y,2,)，则,a,b,x,1,y,2,x,2,y,1,0.,若,a,(x,1,，y,1,)，,b,(x,2,，y,2,)，则,a,b,的充要条件不能表示成 ，,因为x,2,，y,2,有可能等于0，所以应表示为x,1,y,2,x,2,y,1,0.,若,a,(x,1,，y,1,)，,b,(x,2,，y,2,)，则,a,b,的充要条件是,a,b,(,b,0)，这与x,1,y,2,x,2,y,1,0在本质上没有差异，只是形式上不同,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,6,(2)向量的坐标运算,若,a,(x,1,，y,1,)，,b,(x,2,，y,2,)，则,a,b,(x,1,x,2,，y,1,y,2,)；,若,a,(x,1,，y,1,)，R，则,a,(x,1,，y,1,),(3)坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,在学习中，要准确理解平面向量坐标表示的概念与意义，灵活、熟练地进行平面向量坐标运算，会根据向量的坐标来判定向量的平行与共线,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,7,3平面向量中的重要结论,在运用向量的坐标表示解决问题时，要注意点的坐标表示与向量的坐标表示之间的区别与联系，记住向量运算的定义和向量坐标运算的法则，结合图形分析，灵活选用不同的方式进行向量的运算；,在处理有关向量平行或向量共线的问题时，要善于与平行条件的坐标表示相联系,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,8,核心方法 重点突破,方法1 向量共线的相关计算,两个向量平行的判定和应用的主要依据：,(1),a,b,a,b,(R，b0)；,(2),a,(x,1,，y,1,)，,b,(x,2,，y,2,)，则,a,b,x,1,y,2,x,2,y,1,0；,(3)对于 (，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.反之也成立,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,9,例,1,、已知,a,(2，1)，,b,(x，2)，,c,(3，y)，且,a,b,c,，求x，y的值,【分析】根据向量平行的充要条件建立关于x，y的方程求解,【解】由,a,b,得4x0，x4.,由,a,c,得2y30，y,.,x4，y,.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,10,例2、四川绵阳2019届质量检测如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若 则的取值范围是(),A(，1)B(1，0),C(0，1)D(1，),考点二 平面向量基本定理及坐标表示,11,【答案】B,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,12,方法2 坐标法在平面向量中的应用,首先通过建立适当的平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后结合三角函数、解析几何或函数等知识进行求解引入向量的坐标运算使得部分平面向量的问题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,13,例3、江苏南通2018月考如图，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120，,点C在弧AB上，且COB30，若 ，则,_,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,14,【答案】,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,15,方法3 平面向量基本性质的应用,(1)应用平面向量基本性质表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；,(2)用平面向量的基本性质解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，,再通过向量的运算来解决；,(3)在使用三点共线的推论时，注意1的使用,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,16,例4、陕西咸阳2019届质量检测如图，在四边形ABCD中，,A4 B2 C4 D2,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,17,【答案】A,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,18,例5、如图，在,ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，若 ，则mn的最大值为_,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,19,【答案】1,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,20,考法例析 成就能力,考法1 平面向量的共线问题,例,1,、课标全国201513设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.,【解析】a与b不平行，a2b0.,ab与a2b平行，,存在实数t，使得abt(a2b),【答案】,【点拨】本题考查向量共线的性质，利用待定系数法得到参数的关系是解题的关键,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,21,例2、北京201410已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_.,【解析】ab0，ab，,【答案】,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,22,考法2 平面向量的基本定理与坐标运算,例3、课标全国20163已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(a b)b，则m(),A8B6C6D8,【解析】ab(4，m2)，(ab)b，,(ab)b0，,即43(m2)(2)0，,解得m8.故选D.,【答案】D,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,23,例4、北京201513在ABC中，点M，N满足,，则x_；y_,【答案】,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,24,例5、江苏201713在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x,2,y,2,50上若 20，则点P的横坐标的取值范围是_,【答案】5 ，1,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,26,【答案】3,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,
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